L'assertion que nous allons démontrer est :

Si une suite admet une limite, alors cette limite est unique.

Démonstration

Soit \((u_n)\) une suite. Supposons qu'elle admette 2 limites distinctes \(l_1< l_2\) et montrons qu'on obtient une absurdité.

D'après la définition de la convergence :

$$\begin{cases}
\forall\varepsilon>0,\exists N_1\in\mathbb{N} | n \geq N_1 \Rightarrow |u_n-l_1| \leq \varepsilon \\
\forall\varepsilon>0,\exists N_2\in\mathbb{N} | n \geq N_2 \Rightarrow |u_n-l_2| \leq \varepsilon
\end{cases}$$

L'assertion étant vraie \(\forall \varepsilon > 0\), elle est vraie pour \(\varepsilon' = \frac{l_2-l_1}{3}\). Donc :

$$\begin{cases}
\exists N_1\in\mathbb{N} | n \geq N_1 \Rightarrow |u_n-l_1| \leq \varepsilon' \\
\exists N_2\in\mathbb{N} | n \geq N_2 \Rightarrow |u_n-l_2| \leq \varepsilon' 
\end{cases}$$

A partir du rang \(\max(N_1, N_2)\) :

$$
\begin{cases}
|u_n - l_1| \leq \varepsilon'\\
|u_n - l_2| \leq \varepsilon'
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
u_n \in [l_1- \varepsilon', l_1+\varepsilon'] \\
u_n \in [l_2- \varepsilon', l_2+\varepsilon']
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
​u_n \in [l_1- \varepsilon', l_1+\varepsilon'] \cap [l_2- \varepsilon', l_2+\varepsilon']
$$

En remplaçant par la valeur de \(\varepsilon'\), \([l_1- \varepsilon', l_1+\varepsilon'] \cap [l_2- \varepsilon', l_2+\varepsilon'] = \left[\frac{4 l_1 - l_2}{3}, \frac{2 l_1 + l_2}{3}\right] \cap \left[\frac{2 l_2 + l_1}{3}, \frac{4 l_2 - l_1}{3}\right]\).

Or :

$$\begin{align*}
& \frac{2 l_2 + l_1}{3} - \frac{2 l_1 + l_2}{3} = \frac{l_2-l_1}{3} > 0\\ 
\Rightarrow \quad & \frac{2 l_2 + l_1}{3} > \frac{2 l_1 + l_2}{3}\\ 
\Rightarrow \quad & \left[\frac{4 l_1 - l_2}{3}, \frac{2 l_1 + l_2}{3}\right] \cap \left[\frac{2 l_2 + l_1}{3}, \frac{4 l_2 - l_1}{3}\right] = \emptyset
\end{align*}$$

Le résultat obtenu est absurde car, à partir d'un certain rang, \(u_n \in \emptyset\), ce qui veut donc dire qu'une suite ne peut avoir plus d'une limite.