J'allais de vidéos de maths en vidéos de maths sur Youtube quand je suis tombé sur cette vidéo de Preety Uzlain expliquant comment trouver la racine cubique du cube d'un nombre à 2 chiffres.

Ainsi, si l'on veut trouver \(b = \sqrt[3]{a}\) où \(a\) est le cube d'un nombre à 2 chiffres, nous devons utiliser la technique suivante :

• Trouver quel est le nombre \(u \in [[0, 9]]\) qui, mis au cube, a le même chiffre des unités que \(a\)
• Trouver quel est le nombre \(d \in [[0, 9]]\) qui, mis au cube, est inférieur à \(\left \lfloor \frac{a}{1000} \right \rfloor\) le plus proche

Une fois \(u\) et \(d\) trouvés, on conclut que \(b = 10d + u\).

Le but de cet article est donc de démontrer que la technique utilisée par Preety Uzlain pour calculer la racine cubique de tout cube d'un nombre à 2 chiffres marche.

Démonstration

Comme nous voulons trouver \(\sqrt[3]{a}\) où \(a\) est le cube d'un nombre à 2 chiffres, nous pouvons écrire :

$$(d, u) \in [[0, 9]]^2 \qquad a = (10d + u)^3$$

Démonstration du 1er point de la technique

Développons l'expression précédente :

$$\begin{align}a &= (10d)^3 + 3(10d)^2 u + 3(10d)u^2 + u^3 = 1000d^3 + 300d^2 u + 30du^2 + u^3 \\ &= 10(100d^3 + 30d^2 u + 3du^2) + u^3\end{align}$$

Il est maintenant facile de voir que le chiffre des unités de \(10(100d^3 + 30d^2 u + 3du^2)\) est \(0\), ce qui veut dire que le chiffre des unités de \(a\) est le même que celui de \(u^3\).

Ainsi, comme le chiffre des unités de \(0^3\), \(1^3\), \(2^3\), ..., \(9^3\) est différent, il existe 1 unique \(u^3\) dont le chiffre des unités est le même que celui de \(a\). C'est cette raison qui prouve que le 1er point de la technique est vrai.

Démonstration du 2ème point de la technique

Comme \(0 \leqslant u < 10\), nous obtenons l'encadrement suivant :

$$10d \leqslant 10d + u < 10d + 10 = 10(d+1)$$Et, si on divise par 10 puis met à la puissance 3 chaque membre de l'inégalité, on obtient : 

$$d^3 \leqslant \frac{(10d + u)^3}{1000} < (d+1)^3$$

Comme \(a = (10d + u)^3\), l'inéquation finale est la suivante :

$$d^3 \leqslant \frac{a}{1000} < (d+1)^3$$Il est maintenant très facile de voir que le 2ème point de la technique est vrai, ce qui finit par prouver que la technique utilisée par Preety Uzlain marche !