Lucas Willems

LUCAS WILLEMS

Un étudiant de 21 ans passionné par les maths et la programmation

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Conseils classe prépa : Maths

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Vous trouverez dans cet article toutes les données à propos des maths en classe préparatoire MPSI, MP, PCSI, PC, PSI pour réussir les concours Polytechnique, ENS, Centrale, Mines :

Conseils pour l'année de sup (MPSI, PCSI)

Conseils pour l'année de spé (MPSI, PCSI)

Conseils pour les écrits (Polytechnique, ENS, Mines, Centrale)

Conseils pour les oraux (Polytechnique, ENS, Mines, Centrale)

Mes planches d'oral

ENS

Maths ULCR (45 mns de passage)

Enoncé
Soit \(f\) une fonction infiniment dérivable de \(\mathbb{R}\). Soit \(E = Vect\{x \mapsto f(ax+b) | (a, b) réels\}\). On considère la norme infinie. Montrer l'équivalence entre :
1) \(E\) dense dans les fonctions continues de \([a, b]\)
2) \(f\) n'est pas un polynôme

Indications données pendant l'oral
2) => 1) :
- montrer que si \(g\) est infiniment dérivable alors \(g_n(x) = n (g(x+\frac{1}{n}) - g(x))\) converge uniformément vers \(g'\) sur \([a, b]\)
- puis considérer le taux d'acroissement : \(\frac{f((a+h)x + b) - f(ax+b)}{h}\)

Correction
1) => 2) :
Si \(f\) est un polynome de degré \(n\), alors \(E\) est inclus dans l'ensemble des polynomes de degré inférieur à \(n\). C'est donc un sous espace de dimension finie des fonctions continues de \([a, b]\). Il est donc fermé. Ainsi, \(x \mapsto x^(n+1)\) ne se trouve pas dans l'adhérence de \(E\). Donc \(E\) n'est pas dense dans les fonctions continues de \([a, b]\).
2) => 1) :
Pour montrer la 1ère indication, il faut utiliser Taylor et on obtient \(\left|g_n(x) - g'(x)\right| \leq \frac{1}{n} K\) (où \(K\) est indépendant de \(x\)).
Ensuite, en considérant le taux d'accroissement donné et en faisant tendre \(h\) vers \(0\) (considérer \(h = \frac{1}{n}\)), on obtient que \(x\mapsto x f(ax+b)\) est dans l'adhérence de \(E\) (je n'arrive toujours pas à comprendre pourquoi...). En réitérant, on obtient que \(x \mapsto x^n f^{(n)} (ax+b)\) est dans l'adhérence de \(E\). Comme \(f\) n'est pas polynomiale, pour tout \(n\), en prenant \(a = 0\), on peut trouver \(b\) tel que \(f^{(n)}(b) \neq 0\). Donc, on a tous les monomes dans l'adhérence. D'après Weierstrass, on conclut.

Commentaire à chaud
L'examinateur était très gentil et m'a aidé dès que je n'y arrivais pas, c'est à dire assez souvent... J'ai été beaucoup trop lent et beaucoup trop stressé.

Note obtenue
12.5

Polytechnique

Maths 1 (50 mns de passage)

Enoncé
On dit, pour une fonction strictement positive \(f\), que \(f\) est logarithme concave si \(\log f\) est concave.
Soit \(f\) une fonction strictement positive, infiniment dérivable, logarithme concave et intégrable sur \(f\).
1) Montrer que \(f\) est croissante puis décroissante.
2) Montrer qu'il existe \(C\) et \(K\) 2 constantes strictement positives telles que \(|f(x)| \leq K \exp(-C|x|)\)
3) Donner un exemple de fonction \(f\)
4) Montrer que pour \(x_1 \leq x_2\), \(\frac{f(x_1 - y)}{f(x_2 - y)} \geq \frac{f(x_1)}{f(x_2)}\) pour \(y \geq 0\) et \(\frac{f(x_1 - y)}{f(x_2 - y)} \leq \frac{f(x_1)}{f(x_2)}\) pour \(y \leq 0\) (il se peut que j'ai inversé numérateur et dénominateur dans les fractions de cette question).

Indications données pendant l'oral
Aucune

Correction
1) Comme \(f\) est dérivable, \((\log(f))' = \frac{f'}{f}\) : la dérivée de log(f) est du même signe que celle de f.
Dire que \(f\) est croissante puis décroissante équivaut à dire que la dérivée \(f\) est positive puis négative ce qui équivaut à dire que la dérivée de \(\log(f)\) est positive puis négative.
Comme \(\log(f)\) est concave, \((\log(f))'\) est décroissante.
Supposons que \((\log(f))'\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}\). Alors, \(\log(f)\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et par stricte croissance de l'exponentielle, \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). Comme \(f\) est strictement positive, \(f(x) \leq f(0)\) et \(f(0) > 0\) donc \(f(0)\) n'est pas intégrable sur \(\mathbb{R}^+\) donc \(f\) n'est pas intégrable sur \(\mathbb{R}\).
Donc \((\log(f))'\) n'est pas strictement positive sur \(\mathbb{R}\). On fait la même chose pour strictement négative. Puis comme \((\log(f))'\) est continue, décroissante, positive et négative, elle est positive puis négative donc de même pour \(f'\).
2) \(0 < f(x) \leq K \exp(-C|x|) \quad \Leftrightarrow \quad \log(f) \leq \log(K) - C|x|\)
Si on prend le \(x_0\) de la question précédente (le point où \(f\) passe de croissante à décroissante), \(x_0\) correspond au point où \((\log(f))'\) passe de positive à négative. On peut trouver \(x_1 \geq x_0\) tel que \(-C_1 = \log(f)'(x_1) < 0\). En effet, \(\log(f)'\) est négative pour \(x \geq x_1\). Si on suppose \(\log(f)\) nulle, alors \(f\) est constante à \(1\) et ne peut être intégrable.
Comme \(\log(f)\) est concave, elle est en dessous de toutes ses tangentes donc de celle en \(x_1\) donc \(\log(f) \leq -C_1 x + (C_1 x_1 + \log(f(x_1)))\) sur \(\mathbb{R}\).
De même, on peut trouver \(x_2 \leq x_0\) tel que \(C_2 = \log(f)'(x_2) > 0\) et ainsi \(\log(f) \leq C_2x + (-C_2 x_2 + \log(f(x_2)))\) sur \(\mathbb{R}\).
Comme \(\log(f)'\) est continue, et si on suppose que \(C_2 > C_1\), d'après le théorème des valeurs intermédiaires, on peut trouver \(x_2'\) entre \(x_2\) et \(x_0\) tel que \(\log(f)'(x_2') = C1\). On peut donc supposer \(C1 = C2\).
Puis, graphiquement, si on trace les 2 tangentes en \(x_2\) et \(x_1\) (qui ont donc la même pente au signe près), on voit que l'on peut en déplacer une des 2 verticalement pour que le point d'intersection de ces 2 tangentes soit sur l'axe des ordonnées. Ainsi, on a le résultat voulu, c'est à dire \(\log(f) \leq \log(K) - C|x|\).
3) J'ai considéré \(x \mapsto \exp(-x^2)\) qui fonctionne. Strictement positive, \(x \mapsto -x^2\) est concave et \(f\) est intégrable (critère de Riemann).
4) Je n'ai pas eu le temps de la finir. J'ai considéré \(g(y) = \frac{f(x_1 - y)}{f(x_2 - y)}\) et il nous faut montrer que \(g(y) \geq g(0)\) pour \(y \geq 0\) et \(g(y) \leq g(0)\) pour \(y \leq 0\). J'ai vite essayé de considérer \(\log(g)\) et de dériver pour montrer que \(g\) est logarithme concave, mais n'y suis pas arrivé (ce qui n'est pas vrai je pense...). Il m'a arrêté par manque de temps et m'a dit de considérer plutôt l'inégalité des 3 pentes.

Commentaire à chaud
Examinateur sympathique, avec un accent, mais qui ne pose aucun problème de compréhension, rigoureux qui ne veut pas laisser de zones d'ombres sur la réponse.
Pour la 1ère question, j'avais des idées assez mal organisées. Il m'a dit de me calmer et de les mettre en ordre, ce que j'ai fait.
Pour la 2ème question, il me semble qu'il a apprécié les dessins que j'ai fait et mes analyses "qualitatives". Il y portait beaucoup d'attention.
Pour la 3ème question, il m'a dit que la fonction que je donne marche, mais par manque de temps, ne m'a pas demandé de le montrer.
Pour la 4ème question, je n'ai pas eu le temps de faire grand chose...
En bref, l'examinateur semblait porter de l'attention aux schémas, mais aussi à mes raisonnements, même s'ils n'avaient pas encore aboutis.

Note obtenue :
14

Maths 2 (50 mns de passage)

Exercice 1
On note \(S_n\) l'ensemble des permutations de \([\![1, n]\!]\). Pour une permutation \(\sigma\), on définit \(M_{\sigma}\) la matrice de permutation associée. Pour \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\) 2 permutations, montrer que :
$$\sigma_1 \text{ et } \sigma_2 \text{ sont conjuguées } \quad \Leftrightarrow \quad M_{\sigma_1} \text{ est semblable à } M_{\sigma_2}$$

Indications données pendant l'oral pour l'exercice 1
Si \(M_{\sigma_1}\) et \(M_{\sigma_2}\) sont semblables (\(P\) est la matrice de passage), alors si \(V\) est stable par \(M_{\sigma_1}\), \(PV\) est stable par \(M_{\sigma_2}\).

Exercice 2
Soit \((p_n)\) une suite d'entiers vérifiant \(\frac{n}{p_n} \longrightarrow 0\). Montrez que $$\lim_{x \to 1^-} (1-x) \sum_{n = 0}^{\infty} x^{p_n} = 0$$

Exercice 3
Décrire géométriquement l'ensemble \(x^2 + y^2 + z = 0\) dans l'espace.

Commentaire à chaud
Examinateur très grand et sympathique.

Lorsqu'il commence à me dicter l'exercice 1, je rage : c'est exactement l'exercice 1 de l'officiel de l'Officiel de la aupe 2016 (exercice ENS Ulm dans celui-ci) que j'avais simplement lu mais pas essayé de résoudre. Et je me rappelle aussi que Thibaut m'avait dit qu'il avait trouvé la solution et qu'il voulait bien m'expliquer, mais je ne lui ai jamais demandé... A ce moment là, je me dis qu'il faut que j'oublie que j'ai déjà lu cet exo.
Le sens réciproque ne pose pas de problème. J'ai utilisé le fait que la fonction qui à une permutation associe sa matrice de permutation soit un isomorphisme.
Pour le sens direct, je cherche un petit peu et ai l'idée de dire qu'une permutation est un produit de cycles à supports disjoints. L'examinateur me dit que c'est une bonne idée. J'écris alors qu'une matrice de permutation est semblable à une matrice avec des blocs dans la diagonale où les blocs correspondent aux matrices de permutation des cycles (il y a juste similitude car si \(\sigma = (1 2 5) (3 4 6)\), \(M_\sigma\) est semblable à \(M_{(1 2 3) (4 5 6)}\) d'après le sens réciproque et \(M_{(1 2 3) (4 5 6)} = M_{(1 2 3)} M_{(4 5 6)}\) qui est bien une matrice avec des blocs dans la diagonale...). Donc, \(M_{\sigma_1}\) et \(M_{\sigma_2}\) sont toutes 2 semblables à des matrices de ce genre (notons les \(M_1\) et \(M_2\) respectivement). Puis, je bloque un peu... Au bout de quelques instants, il me donne l'indication. Grâce à celle-ci, on obtient que à chaque bloc de la diagonale de \(M_1\), on peut associer un unique bloc de la diagonale de \(M_2\) de même taille donc que à chaque cycle de \(\sigma_1\), on peut associer un unique cycle de même taille de \(\sigma_2\), donc chaque cycle de \(\sigma_1\) est le conjugué d'un unique cycle de \(\sigma_2\). Comme les cycles sont à support disjoint, on a le résultat voulu.

Pour l'exercice 2, quand il me dicte l'exercice, je suis par contre assez content (il se trouvait dans l'Officiel de la Taupe 2016 aussi et je l'avais fait cette fois-ci !) mais je fais semblant que je ne connais pas. Je dis que je vais essayer de traduire avec des epsilons, pour voir ce que ca donne. Puis, je lui dis "Aaaah je crois avoir compris" et dis que je vais séparer la somme en 2... Bref, dans la précipation, je me trompe dans la majoration du reste de la somme, il me dit que je me suis trompé, je corrige. Mais ma nouvelle majoration \(\left(x^{\frac{1}{\varepsilon}}\right)^{n_0}  \frac{1 - x}{1 - x^{\frac{1}{\varepsilon}}}\) ne me permet plus de conclure aussi facilement. Je lui dis que je pense que ca va tendre vers 0. Il me demande pourquoi avec les mains, qu'est-ce qui me fait dire ça. Je lui dis que \(\frac{1}{\varepsilon}\) va être très grand, donc que \(x^{\frac{1}{\varepsilon}}\) sera plus proche de \(0\) que \(x\) donc que \(1-x\) sera plus proche de \(0\) que \(1 - x^{\frac{1}{\varepsilon}}\), puis je le montre mathématiquement en faisant un changement de variable. Je pense qu'il a cru que je ne savais pas faire l'exo :p .

Pour l'exerice 3, c'était rapide. J'ai fait 2 schémas et ai montré avec les mains. On peut réécrire l'équation comme : \(x^2 + y^2 = \sqrt{-z}^2\) pour \(z\) négatif. On comprend que sur l'axe \(z\), on va avoir des cercles de rayon \(\sqrt{-z}\).

Note obtenue
12

Centrale

Maths 2 (30 mns de préparation + 30 mns de passage)

Enoncé
On note \(P = \sum_{k = 0}^{d} a_k X^k\) avec \(a_0\) non nul et \(a_d = 1\). P est à racine simple, de racines \(r_1\), ..., \(r_d\) vérifiant \(|r_1| > ... > |r_d|\).
On définit pour \(n\) entre \(0\) et \(d-2\), \(u_n = 0\), \(u_{d-1} = 1\) et pour \(n\) entier, \(u_{n+d} = \sum_{k = 0}^{d} a_k u_{n+k}\)

1) On étudie le cas où \(P\) est un certain polynôme de degré 5 avec des coefficients positifs et négatifs.
a) Donner les racines et leur module de ce polynôme (grâce à Python).
b) Calculer le rapport \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) pour \(n\) entre 4 et 20 (grâce à Python). Que conjecturez-vous ?
2) On revient dans le cas général.
a) Montrer qu'il existe \(\lambda_1, ..., \lambda_d\) tel que pour \(n\) entier, \(u_n = \sum_{k = 0}^{d} \lambda_i r_i^n\).
b) Montrer que \(\lambda_1\) est non nul.
c) Démontrer la conjecture.
d) On suppose \(\lambda_2\) non nul. Donner un équivalent de \(\frac{u_{n+1}}{u_n} - r_1\).
3) Il y avait une dernière question avec 3 sous-questions il me semble que je n'ai pas eu le temps de traiter.

Correction
1) b) On doit conjecturer que \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\) tend vers \(r_1\).
2) a) J'obtiens les coefficients en prenant \(n\) entre \(0\) et \(d-1\). J'obtiens un système à \(d\) équations et \(d\) inconnues qui peut être mis sous forme matricielle avec une matrice de Vandermonde (inversible car les racines sont 2 à 2 disjointes). Puis, je montre que ces coefficients se propagent car \(r_i\) est une racine du polynôme.
b) Je n'ai pas su faire.
c) Mettre \(r_d^n\) en facteur.
d) Faire un développement limité. Je pense avoir fait une petit erreur de calcul car je suis allé vraiment vite à la fin.

Commentaire à chaud
Colle catastrophe. A 15h04, je reçois un appel de Centrale me disant que je suis attendu pour ma colle : j'étais persuadé qu'elle était prévue à 16h mais non... Je prends toutes mes affaires en vitesse et cours (plus vite que pour le 100m de l'X je pense !) à toute vitesse. J'arrive complètement essouflé dans la salle avec 8 minutes de retard, la colleuse ne me regarde même pas. Je lui dis que je suis complètement désolé pour mon retard. Elle me répond : "Je ne vous parle pas, je suis avec l'élève." d'une voix glaciale... Le temps de m'installer, je commence avec 10 minutes de retard et l'esprit pas très clair...

La question 1) est à faire sous Python. J'y arrive sans trop de problème sauf que pour le b), je n'arrive pas à conjecturer, perds du temps et comprends que j'ai du faire une erreur, mais ne la trouve pas.
Pour la question 2), je n'arrive pas à faire la b) pendant la préparation et la saute. Puis, je comprends ce que je dois conjecturer en faisant le calcul à la question c) et d). Juste avant que ce soit mon tour, je reprends mon programme et trouve mon erreur in extremis : un signe moins manquait...

Ensuite, elle vient me voir pour regarder mon programme : je m'excuse de mon retard. Elle me répond que ce n'est pas grave avec un sourire vraiment désagréable (un sourire de garce). Je commence à le lui présenter mon programme et elle me dit "Calmez vous !" vraiment très froidement. J'essaie de me calmer. Mon programme est visiblement correct. Je passe au tableau.

Là, elle n'en avait rien à faire de ce que je présentais et ne me disait rien du tout... alors que lorsque je préparais, même si elle était froide avec l'élève avant moi, elle l'aidait, lui donnait des indications, lui disait si c'était bon/faux pour qu'il avance (il est arrivé à la question 7) de sa planche avec pas mal d'aide...). Je lui présente ma récurrence de la question 2) a), elle la regarde, regarde son ordi sans rien dire. Au bout de 30 secondes, je lui dis : "est-ce qu'il y a une erreur ? est-ce que je peux passer ?". Elle me dit : "passez !". Clairement, elle cherchait à me faire perdre du temps et si je n'avais rien dit, j'aurais pu passer tout le reste de la colle comme ca.

Je lui ai dit que je n'ai pas réussi à faire la question b) (qui est, je pense, pas très difficile et je pense que je suis passé totalement à côté de cette question) pendant la préparation. Elle ne me dit rien (et je sens qu'elle fait exprès de ne pas me donner d'indications). Je réfléchis, elle me coupe pour me demander de réexpliquer ma récurrence de la question 2) a), je réexplique puis reviens sur la question b). Je passe 2/3 minutes à réfléchir, puis essaie de lui expliquer mes idées. A ce moment, elle me dit : "que pouvez-vous me dire des suites \(u_n\) ?". J'ai enfin une indication ! Je dis que c'est un espace vectoriel de dimension \(d\) (elle hoche la tête) et le montre. Puis, de nouveau un blanc. Je lui demande si j'ai besoin de savoir que c'est un espace vectoriel de dimension d pour résoudre et là, elle me dit : "Non"... Elle m'avait donc donné une mauvaise indication. Puis de nouveau un blanc. Je comprends qu'elle veut me faire perdre tout mon temps sur cette question. Je finis par lui demander si je peux sauter cette question (au bout de 15 minutes perdues dessus). Elle acquiesce avec son même sourire de garce (genre, "eh bien, tu en as mis du temps pour comprendre qu'il te fallait passer...").

Je déroule les calculs pour la c) et la d), en lui demandant à certains moments si elle veut que je justifie certains passages (notemment certains petit o), ce à quoi elle répond qu'elle m'arrêtera si elle veut des justifications supplémentaires. Je pense avoir fait une erreur de calcul à la fin de la d) car il ne me restait plus beaucoup de temps et suis allé très vite. Puis, je finis les calculs et elle me dit "On s'arrête !". L'oral s'arrête là. Elle me fait sortir 5 minutes en avance.

En bref, examinatrice froide qui, je sentais, voulait vraiment me couler (mais ce n'est valable que pour moi je pense). Je ne pense pas avoir été spécialement mauvais au niveau des maths comparé à ce matin (à part à la question 2) b)) et l'exercice n'était pas spécialement dur, mais je n'ai pas eu le temps de faire grand chose malheureusement... Attendez-vous à me voir majorer Centrale Paris !

Note obtenue
16 (Je ne m'y attendais absolument pas... Je pense que c'est du au fait que je n'ai pas été trop mauvais au niveau des maths...)

Mines

Maths (15 mns de préparation + 45 mns de passage)

Exercice 1
Trouver l'ensemble des matrices de \(M_3(\mathbb{R})\) qui commutent avec toutes les matrices orthogonales.

Indications données pendant l'oral pour l'exercice 1
Aucune

Correction de l'exercice 1
Comme on est en dimension 3, toute matrice de \(M_3(\mathbb{R})\) admet une valeur propre \(\lambda\) réelle (le polynôme caractéristique a une racine réelle) associée au vecteur propre \(X\). Si on prend \(M\) telle que, pour tout \(O\) orthogonal, \(MO = OM\), alors pour tout \(O\) orthogonal, \(OX\) est vecteur propre associé à \(\lambda\). Or, \(\{OX | O \text{ orthogonal}\}\) est une sphère de rayon \(||X||\) donc \(R^3\) est vecteur propre de \(M\) associé à \(\lambda\). \(M\) est donc \(\lambda I\). Réciproquement, ca marche.

Exercice 2
On a 2 matrices \(A\) et \(B\) de même rang vérifiant \(A^2 B = A\). Montrer que \(B^2 A = B\). On pourra commencer par montrer que \(Im(A^2) = Im(A)\).

Indications données pendant l'oral pour l'exercice 2
- Est-ce qu'il n'y aurait pas une somme directe ?
- Utiliser une écriture matricielle

Correction de l'exercice 2
Je ne suis pas arrivé au bout de l'exercice. Pour l'indication, l'égalité nous donne que \(Im(A^2)\) est incluse dans \(Im(A)\). Comme l'inclusion inverse est toujours vraie, on a l'égalité. Ensuite, j'ai montré que l'espace est une somme direct de \(Im(A)\) et \(Ker(A)\) en utilisant le théorème du rang sur l'endomorphisme A restreint à son image.
Ensuite, j'ai décomposé les vecteurs selon cette somme direct. Avec l'égalité entre les matrices, on montre que \(ker(B)\) est inclus dans \(ker(A)\). Comme \(A\) et \(B\) ont même rang, leur noyau ont même dimension donc \(ker(B) = ker(A)\). Donc sur \(ker(A)\), on a bien \(B^2 A = B\).
Il suffit de montrer maintenant le résultat sur \(Im(A)\). Je tente des trucs qui n'aboutissent pas. Là, il me demande d'utiliser une écriture matricielle. Je pose mes matrices dans la base adaptée à la somme directe puis fait quelques calculs et il m'arrête pour me donner l'exercice suivant.

Exercice 3
On considère une suite \(P_n\) de polynômes de \(C[X]\) vérifiant \(P_n(-1) = 1\) et \(||P_n|| \longrightarrow 0\) (où \(||P_n||\) désigne la norme infinie de \(P_n\) sur \([0, 1]\)).
1) Que dire des degrés des polynômes \(P_n\) ?
2) Donner une telle suite de polynômes.

Indications données pendant l'oral pour l'exercice 3
Aucune

Correction de l'exercice 3
1) Je dis que je pense que les degrés ne sont pas majorés. Il acquiesce. Pour le montrer, je suppose qu'ils sont majorés par \(M\) et me place donc dans \(C_M[X]\) espace vectoriel de dimension finie. La suite \(P_n\) converge uniformément vers le polynôme nul. En posant \(u_i\) l'application linéaire qui à un polynôme associe son ième coefficient, on obtient que chacun des coefficients de la suite \(P_n\) tend vers 0 (en dimension finie, les u_i sont continues). Comme on a au plus \(M+1\) coefficients pour chaque polynôme, pour tout \(\varepsilon\), il existe un rang à partir duquel tous les coefficients (en valeur absolue) sont inférieurs à epsilon. A partir de ce rang, avec l'inégalité triangulaire, on obtient que \(|P_n(-1)| \leq \varepsilon (M+1)\). En prenant \(\varepsilon\) assez petit, on obtient une absurdité. Il me dit alors que c'est bon, on a une bonne condition sur les coefficients.
2) Je lui dis que je considère \(X^{2n}\). Il me dit que ca ne marche pas en \(1\). Je lui dis que c'est vrai mais que je pense qu'en modifiant un peu, ca devrait être bon. L'idée est de composer avec une application affine qui envoie \(-1\) sur \(-1\) et \(1\) sur \(1/2\). Je compose et montre bien le résultat.

Commentaire à chaud
Examinateur sympathique qui aide et met à l'aise. Ecoute tout ce que je dis, très rigoureux, corrige toutes mes imprécisions. L'exercice 3 s'est fait sous forme de discussion. J'ai presque fait l'exo à l'oral. Je disais une idée, il me posait une question, je corrigeais ma réponse. Je continuais, etc...

Note obtenue
20

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