Si on considère une partie \(F\) non vide de \(\mathbf{R}\) admettant une borne supérieure et \(M\) un majorant de \(F\), alors la caractérisation séquentielle de la borne supérieure est la suivante :

$$M = \sup F \qquad \Leftrightarrow \qquad \exists (u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{F}^{\mathbf{N}}, \lim_{n \to +\infty} u_n = M$$

De même, si on considère une partie \(F\) non vide de \(\mathbf{R}\) admettant cette fois-ci une borne inférieure et \(m\) un minorant de \(F\), alors la caractérisation séquentielle de la borne supérieure est la suivante :

$$m = \inf F \qquad \Leftrightarrow \qquad \exists (u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{F}^{\mathbf{N}}, \lim_{n \to +\infty} u_n = m$$

Dans le reste de cet article, nous ne démontrerons que la caractérisation séquentielle de la borne supérieure, celle pour la borne inférieure étant similaire.

Démonstration

Soit \(F\) une partie non vide de \(\mathbf{R}\) admettant une borne supérieure. Soit \(M\) un majorant de \(F\).

Comme nous supposons déjà \(M\) majorant, démontrer la caractérisation séquentielle de la borne supérieure, en utilisant la caractérisation de la borne supérieure, revient à démontrer :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists x \in F, M-x < \varepsilon \qquad \Leftrightarrow \qquad \exists (u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{F}^{\mathbf{N}}, \lim_{n \to +\infty} u_n = M$$

Supposons que \(\forall \varepsilon > 0, \exists x \in F, M-x < \varepsilon\). Soit \(n \in \mathbf{N}\) :

$$\exists x_n \in F, M-x_n < \varepsilon_n = \frac{1}{n+1}$$

M étant un majorant, la suite \((x_n)\) vérifie alors :

$$\forall n \in \mathbf{N}, |x_n-M| < \frac{1}{n+1}$$Comme \(\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0\), par théorème des gendarmes, \(\lim_{n \to +\infty} x_n = M\).

Supposons que \(\exists (u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{F}^{\mathbf{N}}, \lim_{n \to +\infty} u_n = M\).

Par définition :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbf{N}, |u_n - M| < \varepsilon$$

Ce qui implique, comme M est un majorant et \((u_n)\) est une suite à valeur dans \(F\) :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists x \in F, M-x < \varepsilon$$