LUCAS WILLEMS
Un étudiant de 27 ans passionné par les maths et la programmation
Un étudiant de 27 ans passionné par les maths et la programmation
Dans cet article, nous allons montrer que toute suite extraite d'une suite convergente est convergente.
Soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}}) \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}}\) convergent vers une limite \(l\). Soit \(\varphi\) une application de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\) strictement croissante.
Montrons par récurrence sur \(n \in \mathbf{N}\) que : \(\varphi(n) \geq n\)
Comme \((u_n)\) converge vers une limite \(l\), par définition :
$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbf{N}, n \geq N \Rightarrow |u_n - l | < \varepsilon$$
Comme \(\forall n \in \mathbf{N}, \varphi(n) \geq n\),
$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbf{N}, n \geq N \Rightarrow \varphi(n) \geq n \geq N \Rightarrow|u_{\varphi(n)} - l | < \varepsilon$$Soit :
$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbf{N}, n \geq N \Rightarrow |u_{\varphi(n)} - l | < \varepsilon$$ce qui revient à dire que \((u_{\varphi(n)})\) converge vers \(l\). Ainsi, toute suite extraite d'une suite convergente converge.
Voici les recherches relatives à cette page :
Qu'en pensez-vous ? Donnez moi votre avis (positif ou négatif) pour que je puisse l'améliorer.