Dans cet article, nous allons montrer que toute suite extraite d'une suite convergente est convergente.

Démonstration

Soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}}) \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}}\) convergent vers une limite \(l\). Soit \(\varphi\) une application de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\) strictement croissante.

Montrons par récurrence sur \(n \in \mathbf{N}\) que : \(\varphi(n) \geq n\)

• rang n=0 : \(\varphi\) étant de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\), \(\varphi(0) \geq 0\)
• rang n+1 : Supposons le résultat vrai au rang \(n\) : \(\varphi(n) \geq n\). Comme \(\varphi\) est strictement croissante, \(\varphi(n+1) > \varphi(n) \geq n+1\), soit \(\varphi(n+1) \geq n+1\).
  

Comme \((u_n)\) converge vers une limite \(l\), par définition :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbf{N}, n \geq N \Rightarrow |u_n - l | < \varepsilon$$

Comme \(\forall n \in \mathbf{N}, \varphi(n) \geq n\),

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbf{N}, n \geq N \Rightarrow \varphi(n) \geq n \geq N \Rightarrow|u_{\varphi(n)} - l | < \varepsilon$$Soit :

$$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbf{N}, n \geq N \Rightarrow |u_{\varphi(n)} - l | < \varepsilon$$ce qui revient à dire que \((u_{\varphi(n)})\) converge vers \(l\). Ainsi, toute suite extraite d'une suite convergente converge.