2 suites \((u_n)\) et \((v_n)\) réelles sont dites adjacentes si :

• Les 2 suites sont monotones de sens contraire
• La suite \((u_n - v_n)\) converge vers 0

En voici un exemple :

Si ces 2 suites sont adjacentes, alors elles convergent et ont même limites.

Démonstration

Soit \((u_n)\) et \((v_n)\) 2 suites réelles adjacentes. Sans perte de généralité, supposons \((u_n)\) croissante et \((v_n)\) décroissante.

Comme \((u_n)\) et \((v_n)\) sont monotones, d'après le théorème de la limite monotone, elles sont soit divergentes vers respectivement \(+\infty\) et \(-\infty\) soit convergentes.

Supposons que l'une des 2 suites soit divergentes, alors \(\lim_{n \to +\infty} |u_n - v_n| = +\infty\), ce qui n'est pas possible, les 2 suites étant adjacentes.

Par conséquent, les 2 suites convergent vers des limites finies \(l_1\) et \(l_2\) respectivement. Les 2 suites étant adjacentes, \(\lim_{n \to +\infty} u_n - v_n = 0\) et par unicité de la limite, \(l_1 - l_2 = 0\) soit \(l_1 = l_2 = l\).

Ainsi, les 2 suites convergent vers une même limite \(l\) finie.