Lucas Willems

LUCAS WILLEMS

Un étudiant de 21 ans passionné par les maths et la programmation

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Théorème de Bolzano-Weierstrass réel et complexe

Article

Le théorème de Bolzano-Weierstrass complexe est le suivant :

Soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{C}^{\mathbf{N}}\) bornée. Alors on peut extraire une suite convergente de \((u_n)\).

Nous allons, dans un premier temps, démontrer ce résultat dans le cas réel, de 2 manières différentes (la méthode classique et une méthode originale déduite d'un exercice), puis dans le cas complexe.

Démonstration

Cas réel (méthode 1)

Soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}}\) bornée par M. Définissons par récurrence sur \(n\) 2 suites \((a_n)\) et \((b_n)\) et une extractrice \(\varphi\), fonction de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\) strictement croissante, le tout vérifiant :

$$\begin{cases}
a_{n-1} \leq a_n \leq u_{\varphi(n)} \leq b_n \leq b_{n-1} \\
b_{n} - a_{n} = \frac{1}{2^{n-1}} \cdot M \\
\{k \in \mathbf{N} | u_k \in [a_n; b_n]\} \text{ infini}
\end{cases}$$


Dans les 2 cas, par une telle construction, l'hypothèse de récurrence au rang \(n+1\) est vérifiée.

Comme \((a_n)\) et \((b_n)\) sont 2 suites respectivement croissantes et décroissantes et telles que \((b_n - a_n)\) tende vers 0, alors les 2 suites sont adjacentes et, par conséquent, convergent vers une même limite \(l\). D'après le théorème des gendarmes, \((u_{\varphi(n)})\) converge vers \(l\). On a donc réussi à extraire une suite convergente de \((u_n)\).

Cas réel (méthode 2)

Soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}}\) bornée. Posons \(\forall n \in \mathbf{N}, v_n = \inf \{u_k | k \geq n\}\) : la suite \((v_n)\) est bien définie car \((u_n)\) est bornée.

La suite \((v_n)\) est croissante et bornée car \((u_n)\) est bornée donc d'après le théorème de la limite monotone, \((v_n)\) converge vers une limite \(l\). Montrons alors que l'on peut construire une extractice \(\varphi\), fonction de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\) strictement croissante, telle que \((u_{\varphi(n)})\) converge vers \(l\).

Montrons par récurrence sur \(n \in \mathbf{N}\) que :

$$\begin{cases} \varphi(n) < \varphi(n+1) \\ |u_{\varphi(n+1)} - l | < \frac{1}{n+1} \end{cases}$$

Par récurrence, \(\varphi\) est strictement croissante et \((u_{\varphi(n)})\) converge vers \(l\). On a donc réussi à extraire une suite convergente de \((u_n)\).

Cas complexe

Supposons le théorème de Bolzano-Weierstrass vrai pour les suites réelles bornées et déduisons en le théorème pour celles complexes bornées.

Soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}}\) bornée. Définissons \((a_n)\) et \((b_n)\) suites réelles comme suit :

$$\forall n \in \mathbf{N}, u_n = a_n + i \cdot b_n$$

La suite \((u_n)\) étant bornée, les suites réelles \((a_n)\) et \((b_n)\) sont bornées. On peut donc appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass réel dessus :

  1. Il existe \(\varphi\) fonction de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\) strictement croissante telle que \((a_{\varphi(n)})\) converge vers \(l_1\)
  2. Comme \((b_{\varphi(n)})\) est aussi une suite réelle bornée, il existe \(\gamma\) fonction de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\) strictement croissante telle que \((b_{\varphi(\gamma(n))})\) converge vers \(l_2\)

En posant \(\theta = \varphi \circ \gamma\) fonction de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\) strictement croissante, on obtient que \((a_{\theta(n)})\) converge vers \(l_1\) comme suite extraite d'une suite convergente et  \((b_{\theta(n)})\) converge vers \(l_2\) donc que  \((u_{\theta(n)})\) converge vers \(l_1 + i \cdot l_2\).

Le théorème de Bolzano-Weierstrass est donc aussi vrai pour les suites complexes bornées.

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