Le théorème de Bolzano-Weierstrass complexe est le suivant :

Soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{C}^{\mathbf{N}}\) bornée. Alors on peut extraire une suite convergente de \((u_n)\).

Nous allons, dans un premier temps, démontrer ce résultat dans le cas réel, de 2 manières différentes (la méthode classique et une méthode originale déduite d'un exercice), puis dans le cas complexe.

Démonstration

Cas réel (méthode 1)

Soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}}\) bornée par M. Définissons par récurrence sur \(n\) 2 suites \((a_n)\) et \((b_n)\) et une extractrice \(\varphi\), fonction de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\) strictement croissante, le tout vérifiant :

$$\begin{cases}
a_{n-1} \leq a_n \leq u_{\varphi(n)} \leq b_n \leq b_{n-1} \\
b_{n} - a_{n} = \frac{1}{2^{n-1}} \cdot M \\
\{k \in \mathbf{N} | u_k \in [a_n; b_n]\} \text{ infini}
\end{cases}$$

Dans les 2 cas, par une telle construction, l'hypothèse de récurrence au rang \(n+1\) est vérifiée.

• rang n = 0 : posons \(a_{-1} = a_0 = -M\), \(b_{-1} = b_0 = M\) et \(\varphi(0) = 0\)
• rang n+1 : supposons les \(n+1\) premiers termes des 2 suites et de l'extractrice construits et vérifiant l'hypothèse de récurrence au rang \(n\).
  
  Posons \(m = \frac{a_n + b_n}{2}\). Posons \(G = \{k \in \mathbf{N} | u_k \in [a_n; m]\}\) et \(D = \{k \in \mathbf{N} | u_k \in [m; b_n]\}\)
  
  Comme \(G \cup D\) est un ensemble infini par hypothèse de récurrence, nécessairement, \(G\) ou \(D\) est un ensemble infini :
  • Si \(G\) est infini, posons \(a_{n+1} = a_n\), \(b_{n+1} = m\) et, comme \(G \cap ]\!]\varphi(n);+\infty]\!] \ne \emptyset\), \(\varphi(n+1) = \min (G \cap ]\!]\varphi(n);+\infty]\!])\)
  • Si \(D\) est infini, posons \(a_{n+1} = m\), \(b_{n+1} = b_n\) et, comme \(D \cap ]\!]\varphi(n);+\infty]\!] \ne \emptyset\), \(\varphi(n+1) = \min (D \cap ]\!]\varphi(n);+\infty]\!])\)

Comme \((a_n)\) et \((b_n)\) sont 2 suites respectivement croissantes et décroissantes et telles que \((b_n - a_n)\) tende vers 0, alors les 2 suites sont adjacentes et, par conséquent, convergent vers une même limite \(l\). D'après le théorème des gendarmes, \((u_{\varphi(n)})\) converge vers \(l\). On a donc réussi à extraire une suite convergente de \((u_n)\).

Cas réel (méthode 2)

Soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}}\) bornée. Posons \(\forall n \in \mathbf{N}, v_n = \inf \{u_k | k \geq n\}\) : la suite \((v_n)\) est bien définie car \((u_n)\) est bornée.

La suite \((v_n)\) est croissante et bornée car \((u_n)\) est bornée donc d'après le théorème de la limite monotone, \((v_n)\) converge vers une limite \(l\). Montrons alors que l'on peut construire une extractice \(\varphi\), fonction de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\) strictement croissante, telle que \((u_{\varphi(n)})\) converge vers \(l\).

Montrons par récurrence sur \(n \in \mathbf{N}\) que :

$$\begin{cases} \varphi(n) < \varphi(n+1) \\ |u_{\varphi(n+1)} - l | < \frac{1}{n+1} \end{cases}$$

• rang n = 0 : posons \(\varphi(0) = 0\)
• rang n+1 : supposons \(\varphi(0)\), ..., \(\varphi(n)\) construits.
  
  Comme \((v_n)\) converge vers \(l\), \(\exists n_0 > \varphi(n), |v_{n_0} - l | < \frac{1}{2\cdot (n+1)}\).
  
  Comme \(v_{n_0} = \inf {u_k | k \geq n_0}\), d'après la caractérisation de la borne inférieure, \(\exists n_1 \geq n_0, |u_{n_1} - v_{n_0} | < \frac{1}{2\cdot (n+1)}\).
  
  Ainsi, posons \(\varphi(n+1) = n_1\) vérifiant par construction :
  • \(\varphi(n) < \varphi(n+1)\)
  • \(|u_{\varphi(n+1)} - l | \leq |u_{\varphi(n+1)} - v_{n_0} | + |v_{n_0} - l | \leq \frac{1}{n+1}\)

Par récurrence, \(\varphi\) est strictement croissante et \((u_{\varphi(n)})\) converge vers \(l\). On a donc réussi à extraire une suite convergente de \((u_n)\).

Cas complexe

Supposons le théorème de Bolzano-Weierstrass vrai pour les suites réelles bornées et déduisons en le théorème pour celles complexes bornées.

Soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}}\) bornée. Définissons \((a_n)\) et \((b_n)\) suites réelles comme suit :

$$\forall n \in \mathbf{N}, u_n = a_n + i \cdot b_n$$

La suite \((u_n)\) étant bornée, les suites réelles \((a_n)\) et \((b_n)\) sont bornées. On peut donc appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass réel dessus :

1. Il existe \(\varphi\) fonction de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\) strictement croissante telle que \((a_{\varphi(n)})\) converge vers \(l_1\)
2. Comme \((b_{\varphi(n)})\) est aussi une suite réelle bornée, il existe \(\gamma\) fonction de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\) strictement croissante telle que \((b_{\varphi(\gamma(n))})\) converge vers \(l_2\)

En posant \(\theta = \varphi \circ \gamma\) fonction de \(\mathbf{N}\) dans \(\mathbf{N}\) strictement croissante, on obtient que \((a_{\theta(n)})\) converge vers \(l_1\) comme suite extraite d'une suite convergente et  \((b_{\theta(n)})\) converge vers \(l_2\) donc que  \((u_{\theta(n)})\) converge vers \(l_1 + i \cdot l_2\).

Le théorème de Bolzano-Weierstrass est donc aussi vrai pour les suites complexes bornées.