Le théorème de la limite monotone est pour une suite croissante :

Soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}}\) croissante. Alors :

• Si \((u_n)\) est majorée, \((u_n)\) est convergente
• Sinon, \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\)

Et pour une suite décroissante :

Soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}}\) décroissante. Alors :

• Si \((u_n)\) est minorée, \((u_n)\) est convergente
• Sinon, \((u_n)\) diverge vers \(-\infty\)

Démonstration

Montrons d'abord le théorème pour une suite croissante : soit \((u_n)_{n \in \mathbf{N}} \in \mathbf{R}^{\mathbf{N}}\) croissante.

Supposons que la suite soit majorée. Ainsi, \(A = {u_n | n \in \mathbf{N}}\) est une partie non vide majorée de \(\mathbf{R}\) donc admet une borne supérieure. Montrons que la suite \((u_n)\) converge vers \(l = \sup A\).

Soit \(\varepsilon > 0\). Par caractérisation de la borne supérieure, \(\exists N \in \mathbf{N}, u_N > l - \varepsilon\). Comme \((u_n)\) est croissante :

$$\exists N \in \mathbf{N}, \forall n \geq N, u_n > l - \varepsilon$$

Ce qui peut être réécrit :

$$\exists N \in \mathbf{N}, \forall n \geq N, l - u_n < \varepsilon$$

Comme \(l\) est supérieur à tous les termes de la suite, 

$$\exists N \in \mathbf{N}, \forall n \geq N, |u_n - l | < \varepsilon$$Ce qui correspond à dire que \((u_n)\) est convergente et converge bien vers \(\sup A\).

Supposons que la suite ne soit pas majorée. De la même manière, on montre que pour tout \(M > 0\), il existe un rang où elle supérieure à \(M\). Par croissance, elle est supérieure pour tous les rangs suivants, ce qui donnent la divergence de la suite vers \(+\infty\).

Maintenant, prenons \((u_n)\) décroissante et posons \(\forall n \in \mathbf{N}, v_n = - u_n\). La suite \((v_n)\) est une suite croissante. D'après ce que nous venons de voir, 

• Si \((v_n)\) est majorée, \((v_n)\) est convergente
• Sinon, \((v_n)\) diverge vers \(+\infty\)

C'est à dire :

• Si \((u_n)\) est minorée, \((u_n)\) est convergente
• Sinon, \((u_n)\) diverge vers \(-\infty\)