Lucas Willems

LUCAS WILLEMS

Un étudiant de 21 ans passionné par les maths et la programmation

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Changement de variable

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La méthode de changement de variable offre une nouvelle méthode pour calculer une intégrale ou une primitive. Dans cet article, nous allons en donner une démonstration.

La méthode de changement de variable est la suivante :

Soit \([a, b]\) un segment de \(\mathbf{R}\).
Soit \(f \in C([a, b])\) et \(\varphi \in C^1([a, b])\). Alors :

$$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi'(x) dx$$

Sommaire

Démonstration

Soit \(f \in C([a, b])\) et \(\varphi \in C^1([a, b])\). Notons \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a, b]\).

Comme \(f\) est continue, \(F\) est de classe \(C^1\) donc \(F\circ \varphi \in C^1([a, b])\) et :

$$(F\circ \varphi)' = (f\circ \varphi) \cdot \varphi$$On obtient, en intégrant entre \(a\) et \(b\), le résultat :

$$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) dx = [F(x)]_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} = [F(\varphi(x))]_a^b = \int_{a}^{b} (F \circ \varphi)'(x) dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi'(x) dx$$

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