La méthode de changement de variable offre une nouvelle méthode pour calculer une intégrale ou une primitive. Dans cet article, nous allons en donner une démonstration.

La méthode de changement de variable est la suivante :

Soit \([a, b]\) un segment de \(\mathbf{R}\).
Soit \(f \in C([a, b])\) et \(\varphi \in C^1([a, b])\). Alors :

$$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi'(x) dx$$

Démonstration

Soit I un intervalle, \(f \in C(I, \mathbb{R})\) et \(\varphi \in C^1([a, b], I)\). Notons \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a, b]\).

Comme \(f\) est continue, \(F\) est de classe \(C^1\) donc \(F\circ \varphi \in C^1([a, b])\) et :

$$(F\circ \varphi)' = (f\circ \varphi) \cdot \varphi$$On obtient, en intégrant entre \(a\) et \(b\), le résultat :

$$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) dx = [F(x)]_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} = [F(\varphi(x))]_a^b = \int_{a}^{b} (F \circ \varphi)'(x) dx = \int_{a}^{b} f(\varphi(x)) \varphi'(x) dx$$