LUCAS WILLEMS
Un étudiant de 27 ans passionné par les maths et la programmation
Un étudiant de 27 ans passionné par les maths et la programmation
La méthode d'intégration par partie offre une nouvelle méthode pour calculer une intégrale ou une primitive. Dans cet article, nous allons en donner une démonstration.
La méthode d'intégration par partie est la suivante :
Soit \([a, b]\) un segment de \(\mathbf{R}\).
Soit \(f \in C([a, b])\), \(g \in C^1([a, b])\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a, b]\). Alors :$$\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx = [F(x)g(x)]^b_a - \int_{a}^{b} F(x)g'(x)dx$$
Soit \(f \in C([a, b])\) et \(g \in C^1([a, b])\). Notons \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a, b]\).
Comme \(f\) est continue, \(F\) est de classe \(C^1\) donc \(F\cdot g \in C^1([a, b])\) et :
$$(F\cdot g)' = F'\cdot g + F\cdot g' = f\cdot g + F\cdot g'$$
En intégrant cette relation entre \(a\) et \(b\) :
$$[F(x)g(x)]^b_a = \int_{a}^{b} (F\cdot g)'(x)dx = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx + \int_{a}^{b} F(x) g'(x) dx$$
On en déduit le résultat voulu :
$$\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx = [F(x)g(x)]^b_a - \int_{a}^{b} F(x)g'(x)dx$$
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