La méthode d'intégration par partie offre une nouvelle méthode pour calculer une intégrale ou une primitive. Dans cet article, nous allons en donner une démonstration.

La méthode d'intégration par partie est la suivante :

Soit \([a, b]\) un segment de \(\mathbf{R}\).
Soit \(f \in C([a, b])\), \(g \in C^1([a, b])\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a, b]\). Alors :

$$\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx = [F(x)g(x)]^b_a - \int_{a}^{b} F(x)g'(x)dx$$

Démonstration

Soit \(f \in C([a, b])\) et \(g \in C^1([a, b])\). Notons \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a, b]\).

Comme \(f\) est continue, \(F\) est de classe \(C^1\) donc \(F\cdot g \in C^1([a, b])\) et :

$$(F\cdot g)' = F'\cdot g + F\cdot g' = f\cdot g + F\cdot g'$$

En intégrant cette relation entre \(a\) et \(b\) :

$$[F(x)g(x)]^b_a = \int_{a}^{b} (F\cdot g)'(x)dx = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx + \int_{a}^{b} F(x) g'(x) dx$$

On en déduit le résultat voulu :

$$\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx = [F(x)g(x)]^b_a - \int_{a}^{b} F(x)g'(x)dx$$