Lucas Willems

LUCAS WILLEMS

Un étudiant de 21 ans passionné par les maths et la programmation

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Inégalité triangulaire réelle et complexe

Article

Le but de cet article est de donner une démonstration de l'inégalité triangulaire dans le cas réel d'abord, puis dans le cas complexe, en donnant une interprétation géométrique et en étudiant le cas d'égalité.

Si \(|.|\) désigne le module pour les nombres complexes, alors, pour \((a, b) \in \mathbf{N}^2\), l'inégalité triangulaire complexe est la suivante :

$$||a|-|b|| \leq |a+b| \leq |a|+|b|$$

Démonstration

Cas réel

D'abord, remarquez que \(|a|^2 = a^2\). Cette remarque va nous permettre de nous débarasser des valeurs absolues en utilisant le carré. Ainsi, pour \((a, b) \in \mathbf{R}^2\) :

$$|a+b|^2 = (a+b) ^2 = a^2 + b^2 + 2\cdot a \cdot b = |a|^2 + |b|^2 + 2\cdot a \cdot b$$

Comme \( a \cdot b \leq |a \cdot b| = |a| \cdot |b|\) :

$$|a+b|^2 \leq |a|^2 + |b|^2 + 2\cdot |a| \cdot |b| = (|a|+|b|)^2$$

Comme \(0 \leq |a+b|^2 \leq (|a|+|b|)^2\), par croissance de la fonction racine carrée :

$$|a+b| \leq ||a|+|b||$$

Soit :

$$|a+b| \leq |a|+|b|$$

Pour l'inégalité de gauche, nous avons maintenant :

$$\begin{cases}
|a| = |a+b - b| \leq |a+b| + |b| \\
|b| = |a+b - a| \leq |a+b| + |a|
\end{cases}
\qquad \Rightarrow \qquad
\begin{cases}
|a|-|b| \leq |a+b| \\
|b|- |a| \leq |a+b|
\end{cases}$$

Comme \(||a|-|b|| = max(|a|-|b|, |b|-|a|)\), on obtient l'inégalité voulue :

$$||a|-|b|| \leq |a+b|$$

Cas complexe

Tout complexe \(a\), même nul, peut s'écrire \(\rho \cdot e^{i \theta}\) avec \((\rho, \theta) \in \mathbf{R}^{+} \times \mathbf{R}\). Pour \(a = \rho_1 \cdot e^{i \theta_1}\) et \(b = \rho_2 \cdot e^{i \theta_2}\) complexes :

$$|a+b| = |\rho_1 \cdot e^{i \theta_1} + \rho_2 \cdot e^{i \theta_2}| = |e^{i \theta_1}|\cdot|\rho_1 + \rho_2 \cdot e^{i (\theta_2 - \theta_1)}| = |\rho_1 + \rho_2 \cdot e^{i (\theta_2 - \theta_1)}|$$

Pour simplifier l'écriture, posons \(\alpha = \theta_2 - \theta_1\) et étudions \(|a+b|\), comme pour le cas réel, mais cette fois-ci, simplement pour enlever la racine carrée provenant du module :

$$\begin{align} |a+b|^2 &= (\rho_1 + \rho_2 \cdot cos(\alpha))^2 + (\rho_2 \cdot sin(\alpha))^2 \\ &= \rho_1 ^2 + \rho_2 ^2\cdot (cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha)) + 2 \cdot cos(\alpha) \cdot \rho_1 \cdot \rho_2 \\
&= \rho_1 ^2 + \rho_2 ^2 + 2 \cdot cos(\alpha) \cdot \rho_1 \cdot \rho_2\end{align}$$

car \(cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha) = 1\). Comme \(2 \cdot cos(\alpha) \cdot \rho_1 \cdot \rho_2 \leq 2 \cdot \rho_1 \cdot \rho_2 \) :

$$|a+b|^2 \leq \rho_1 ^2 + \rho_2 ^2 + 2 \cdot \rho_1 \cdot \rho_2 = (\rho_1+\rho_2)^2 = (|a|+|b|)^2$$Pour les mêmes raisons que dans le cas réel, on obtient :

$$|a+b| \leq |a| + |b|$$Pour l'inégalité de gauche, par le même raisonnement que dans le cas réel, on obtient aussi :

$$||a|-|b|| \leq |a + b|$$

Cas d'égalité

Souvent quand on étudie des inégalités, on se demande si il existe des cas où l'égalité est en réalité une égalité et quels sont ces cas. C'est ce que nous allons voir pour l'inégalité triangulaire. Comme le cas réel n'est qu'un sous cas du cas complexe, seul le cas complexe sera étudié.

Reprenons les calculs du cas complexe. Dire que \(|a+b| = |a| + |b|\) revient à dire que toutes les inégalités \(\leq\) doivent être transformées en égalité \(=\). Ici, cela revient à dire que :

$$\begin{align} 2 \cdot cos(\alpha) \cdot \rho_1 \cdot \rho_2 = 2 \cdot \rho_1 \cdot \rho_2
& \quad \Leftrightarrow \quad cos(\alpha) = 1
\quad \Leftrightarrow \quad \alpha \equiv 0 [2 \pi]
\quad \Leftrightarrow \quad \theta_1 \equiv \theta_2 [2 \pi]
\\& \quad \Leftrightarrow \quad e^{i \theta_1} = e^{i \theta_2} \end{align}$$

Dire que \(\theta_1 \equiv \theta_2 [2 \pi]\) revient à dire que :

$$\begin{cases}
\frac{a}{b} = \frac{\rho_1}{\rho_2} = \lambda \in \mathbf{R}^{+} \quad \text{si } b \ne 0 \\
b = 0 \quad \text{sinon}
\end{cases}$$Par conséquent, le cas d'égalité de droite dans l'inégalité triangulaire, pour \((a, b) \in \mathbf{C}^2\), se formule ainsi :

$$|a+b| = |a|+|b| \quad \Leftrightarrow \quad b = 0 \enspace\text{ou}\enspace \exists \lambda \in \mathbf{R}^{+}, a = \lambda \cdot b$$

Pour le cas d'égalité de droite :

$$\begin{align}
||a|-|b|| = |a+b|
& \quad \Leftrightarrow \quad |a|-|b| = |a+b| \enspace\text{ou}\enspace |b|-|a| = |a+b|
\\& \quad \Leftrightarrow \quad |a| = |a+b| + |b| \enspace\text{ou}\enspace |b| = |a+b|+|a|
\\& \quad \Leftrightarrow \quad (-b = 0 \enspace\text{ou}\enspace \exists \lambda \in \mathbf{R}^{+}, a+b = \lambda \cdot (-b))
\\& \quad\quad\quad \enspace\text{ou}\enspace (-a = 0 \enspace\text{ou}\enspace \exists \lambda \in \mathbf{R}^{+}, a+b = \lambda \cdot (-a))
\\& \quad \Leftrightarrow \quad (b = 0 \enspace\text{ou}\enspace \exists \lambda \in \mathbf{R}^{+}, a+(1+\lambda)\cdot b = 0)
\\& \quad\quad\quad \enspace\text{ou}\enspace (a = 0 \enspace\text{ou}\enspace \exists \lambda \in \mathbf{R}^{+}, (1+\lambda)\cdot a+b = 0)
\end{align}$$

Autant la condition d'égalité dans l'inégalité de droite est simple à retenir et doit être retenue (géométriquement, elle paraît évidente), autant celle dans l'inégalité de gauche n'est pas très explicite... De mémoire, je n'ai jamais eu besoin de l'utiliser en prépa. Au pire, si vous en avez besoin, vous la redémontrez.

Interprétation géométrique

Géométriquement, un nombre complexe \(a = x + i \cdot y\) peut être représenté dans le plan \(\mathbf{R}^2\) par un vecteur de coordonnées \((x, y)\) et son module \(|a|\) correspond à la norme du vecteur, sa "longueur".

Si nous prenons un autre nombre complexe \(b\) et représentons sur une même figure \(a\), \(b\) et \(a+b\), nous obtenons la figure suivante (avec \(a = 4 + 3i\) et \(b = -2 + i\)) :

Sur la figure, on voit bien que le module (la longueur) de \(a+b\) est inférieur à la somme du module (la longueur) de \(a\) et du module (la longueur) de \(b\), c'est à dire : \(|a+b| \leq |a| + |b|\).

Géométriquement, l'inégalité triangulaire correspond simplement à dire que la longueur d'un côté d'un triangle est toujours inférieur à la somme des longueurs des deux autres.

Sur la figure, on peut aussi en déduire le cas d'égalité : il faut et suffit que \(a\) et \(b\) soient alignés et de même sens.

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