Lucas Willems

LUCAS WILLEMS

Un étudiant de 21 ans passionné par les maths et la programmation

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Formulaire des formules trigonométriques

Article

Les formules trigonométriques permettent de jongler entre les différentes formes des fonctions \(cos\), \(sin\), \(tan\) et de se ramener à des expressions plus pratiques dans le problème considéré.

Voici toutes les formules trigonométriques, regroupées sous forme d'un formulaire, qu'il vous faut connaitre par coeur ! De mon expérience en prépa, si ces formules sont des réflexes pour vous, elles vous permettront de sortir de vraies galères calculatoires ou de trivialiser certains problèmes, croyez moi !

Vous trouverez des exemples d'utilisation des formules, ainsi que des moyens pour les retenir/retrouver rapidement. En cas d'oubli de ces formules trigonométriques, les démonstrations sont présentes à la fin de l'article

Formulaire

Pour la mémorisation, retenez 2 choses :

Angles associés

$$cos(-a) = cos(a) \qquad cos(\pi + a) = - cos(a) \qquad cos(\pi - a) = - cos(a) \\ cos(\frac{\pi}{2} + a) = -sin(a) \qquad cos(\frac{\pi}{2} - a) = sin(a) \\ sin(-a) = -sin(a) \qquad sin(\pi + a) = - sin(a) \qquad sin(\pi - a) = sin(a) \\ sin(\frac{\pi}{2} + a) = cos(a) \qquad sin(\frac{\pi}{2} - a) = cos(a)$$

Utilisation : Montrer la parité/imparité/périodicité d'une fonction contenant des fonctions trigonométriques
Mémorisation : Les signes sont les mêmes pour \(cos\) et \(sin\) à part pour \(-a\) et \(\pi - a\). Dans le 1er cas, retenir la parité et l'imparité respective de \(cos\) et \(sin\). Dans le 2e cas, \(cos\) est méchant : il rajoute un signe \(-\). 

Relations entre cosinus, sinus et tangente

$$cos' = - sin \qquad sin' = cos \qquad tan' = 1 + tan^2 \\
cos^2 + sin^2 = 1 \qquad 1+tan^2 = \frac{1}{cos^2}$$

Utilisation : Dériver une fonction contenant des fonctions trigonométriques
Mémorisation : Pour les dérivées, \(cos\) est méchant : il rajoute un signe \(-\).

Formules d'addition

$$cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(b)sin(a) \\ cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(b)sin(a) \\
sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) \\ sin(a-b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a) \\
tan(a+b) = \frac{tan(a) + tan(b)}{1 - tan(a) tan(b)} \\ tan(a-b) = \frac{tan(a) - tan(b)}{1 + tan(a) tan(b)}$$

$$cos(2a) = 2cos^2(a) -1 \qquad sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) \qquad tan(2a) = \frac{2 tan(a)}{1 - tan^2(a)}$$

Utilisation : Simplifier des expressions comme, par exemple, \(\frac{sin(2a)}{sin(a)}\)
Mémorisation : Vous n'avez véritablement besoin de ne retenir que \(cos(a+b)\), \(sin(a+b)\) et \(tan(a+b)\). Les autres peuvent être obtenues soit en remplaçant \(b\) par \(-b\) et en utilisant la parité/imparité des fonctions trigonométriques, soit en remplaçant \(b\) par \(a\). Pour retrouver \(cos(a \pm b)\) et \(sin(a \pm b)\), retenez :

Transformation de produit en somme

$$cos(a)cos(b) = \frac{1}{2} (cos(a-b) + cos(a+b)) \\ sin(a)sin(b) = \frac{1}{2} (cos(a-b) - cos(a+b)) \\ sin(a)cos(b) = \frac{1}{2} (sin(a-b) + cos(a+b)) $$

$$cos^2(a) = \frac{1+cos(2a)}{2} \qquad sin^2(a) = \frac{1 - cos(2a)}{2} \qquad tan^2(a) = \frac{1-cos(2a)}{1+cos(2a)}$$

$$1+cos(a) = 2 cos^2(\frac{a}{2}) \qquad 1-cos(a) = 2 sin^2(\frac{a}{2})$$

Note : Les 2 dernières formules sont assez méconnues. Seul mon professeur de maths en MP* nous les a montrées et elles s'avèrent extrêmement utiles ! A retenir en priorité !

Utilisation : Intégrer facilement une fonction produit de fonctions trigonométriques en la transformant en une somme de telles fonctions.
Mémorisation : Pour retrouver \(cos(a) cos(b)\), \(sin(a) sin(b)\) et \(sin(a) cos(b)\), retenez :

Transformation de somme en produit

$$cos(p) + cos(q) = 2 cos(\frac{p+q}{2}) cos(\frac{p-q}{2}) \\ cos(p) - cos(q) = - 2 sin(\frac{p+q}{2}) sin(\frac{p-q}{2}) \\ sin(p) + sin(q) = 2 sin(\frac{p+q}{2}) cos(\frac{p-q}{2}) \\ sin(p) - sin(q) = 2 cos(\frac{p+q}{2}) sin(\frac{p-q}{2})$$Utilisation : Etudier le signe d'une fonction somme de fonctions trigonométriques en la transformant en un produit de telles fonctions.
Mémorisation : Pour retrouver ces 4 formules, retenez :

Utilisation de la tangente de l'angle moitié (\(t = tan(\frac{a}{2})\))

$$cos(a) = \frac{1-t^2}{1+t^2} \qquad sin(a) = \frac{2t}{1+t^2} \qquad tan(a) = \frac{2t}{1-t^2}$$

Utilisation : Effectuer un changement de variable dans une intégrale car \(\frac{2x}{1+t^2}\), ... se primitivent facilement.
Mémorisation : Apprenez les numérateurs pour \(cos\) et \(sin\) par coeur et que le dénominateur vaut \(1+t^2\). Pour \(tan\), on en déduit la formule en utilisant \(tan = \frac{sin}{cos}\).

Factorisation par l'angle moitié

$$1+e^{ix} = 2 \cdot cos(\frac{x}{2}) \cdot e^{i \frac{x}{2}} \qquad 1-e^{ix} = -2 i \cdot sin(\frac{x}{2}) \cdot e^{i \frac{x}{2}}$$

Utilisation : Effectuer des simplifications et factoriser des expressions
Mémorisation : Pour retrouver ces 2 formules, retenez :

Démonstrations

Dans les démonstrations suivantes, on définit la fonction \(exp\) par sa série entière, de rayon de convergence infini (preuve de l'existence ici) :

$$\forall z \in \mathbf{C}, e^{z} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{z^k}{k!}$$et définit les fonctions \(cos\) et \(sin\) comme suit :

$$\forall x \in \mathbf{R}, \begin{cases}cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} \\ sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} = \sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\end{cases}$$

Angles associés

Toutes ces formules sont facilement retrouvables avec un petit cercle trigonométrique fait sur un brouillon. Vous avez déjà du le faire en classe d'ailleurs.

Relatioons entre cosinus, sinus et tangente

Comme les fonctions \(exp\), \(cos\) et \(sin\) sont développables en série entière et ont un rayon de convergence infini, elles sont indéfiniment dérivables sur \(\mathbf{R}\) et on obtient avec 2 petites changements de variables :

$$\forall x \in \mathbf{R}, \begin{cases}cos'(x) = \sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k-1}}{(2k-1)!} = -sin(x) \\ sin'(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = cos(x)\end{cases}$$Donc, \(cos' = -sin\) et \(sin' = cos\). Pour ce qui est de tangente, écrire \(tan = \frac{sin}{cos}\) et faire un simple calcul de dérivée donne le résultat.

D'après les défintions de \(cos\) et \(sin\) données, pour tout \(x \in \mathbf{R}\),

$$\begin{align} cos^2(x) + sin^2(x) &= \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \right)^2 + \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^2 \\ &= \frac{e^{2ix} + 2 + e^{-2ix}}{4} - \frac{e^{2ix} - 2 + e^{-2ix}}{4} = 1\end{align}$$

Donc, \(cos^2 + sin^2 = 1\). Pour ce qui est de la dernière formule, écrire \(tan = \frac{sin}{cos}\), mettre au même dénominateur et utiliser \(cos^2 + sin^2 = 1\) donne le résultat.

Formules d'addition

D'après les définitions de \(cos\) et \(sin\) données, on obtient \(e^{ix} = cos(x) + i sin(x)\). Ainsi, \(cos(x) = Re(e^{ix})\) et \(sin(x) = Im(e^{ix})\).

Comme :

$$\begin{align}e^{i(a+b)} &= e^{ia}e^{ib} = (cos(a) + i sin(a)) (cos(b) + i sin(b)) \\ &= (cos(a)cos(b) - sin(b)sin(a)) + i (sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a))\end{align}$$on en déduit :

$$\begin{cases}cos(a+b) = Re(e^{i(a+b)}) = cos(a)cos(b) - sin(b)sin(a) \\ sin(a+b) = Im(e^{i(a+b)} = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)\end{cases}$$

D'autre part,

$$tan(a+b) = \frac{sin(a+b)}{cos(a+b)} = \frac{sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)}{cos(a)cos(b) - sin(b)sin(a)}$$

En factorisant le numérateur et le dénominateur par \(cos(a)cos(b)\), on obtient :

$$tan(a+b) = \frac{tan(a) + tan(b)}{1- tan(a) tan(b)}$$

Pour toutes les autres formules de cette section, il suffit de remplacer \(b\) dans les 3 formules obtenues soit par \(-b\), soit par \(a\). Pour \(cos(2a) = 2cos^2(a) -1\), il vous suffit juste d'utiliser le fait que \(-sin^2(a) = cos^2(a) - 1\).

Transformation de produit en somme

Toutes ces formules découlent directement des formules d'addition. Par exemple :

$$\begin{align}\frac{1}{2} (cos(a-b) + cos(a+b)) &= \frac{1}{2}(cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) + cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)) \\ &= cos(a)cos(b)\end{align}$$

Transformation de somme en produit

Toutes ces formules découlent directement des formules de transformation de produit en somme. Par exemple :

$$2 cos(\frac{p+q}{2}) cos(\frac{p-q}{2})  = cos(\frac{p+q}{2} - \frac{p-q}{2}) + cos(\frac{p+q}{2} + \frac{p-q}{2}) = cos(q) + cos(p)$$

Utilisation de la tangente de l'angle moitié (\(t = tan(\frac{a}{2})\))

Si \(t = tan(\frac{a}{2})\), alors :

On obtient directement les 3 formules.

Factorisation par l'angle moitié

L'idée consiste à factoriser par \(e^{i \frac{x}{2}}\) et d'utiliser les définitions de \(cos\) et \(sin\) :

$$1+e^{ix} = 2 \cdot e^{i \frac{x}{2}} \cdot \frac{e^{-i \frac{x}{2}} + e^{i \frac{x}{2}}}{2} = 2 \cdot cos(\frac{x}{2}) \cdot e^{i \frac{x}{2}}$$

et :

$$1-e^{ix} = -2i \cdot e^{i \frac{x}{2}} \cdot \frac{e^{-i \frac{x}{2}} - e^{i \frac{x}{2}}}{-2i} = -2i \cdot sin(\frac{x}{2}) \cdot e^{i \frac{x}{2}}$$

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