Lucas Willems

LUCAS WILLEMS

Un étudiant de 21 ans passionné par les maths et la programmation

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Dérivée n-ième d'un produit

Article

La dérivée n-ième du produit de 2 fonctions peut être obtenue assez facilement grâce à cette formule trouvée par Leibniz :

$$(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k)}$$

où \(f\) et \(g\) sont 2 fonctions \(n\) fois dérivables, \(f^{(l)}\) veut dire la dérivée \(l\)-ième de \(f\) et \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Tout comme pour la formule du binôme de Newton, cette formule est facilement conjecturable, mais plus difficilement démontrable. Le but de cet article est donc de vous montrer comment la démontrer.

Sommaire

Démonstration

Si vous connaissez la formule du binôme de Newton, vous remarquerez que ces 2 formules (celle de Leibniz et celle de Newton) se ressemblent fortement, car elles "fonctionnent" de la même manière : la récurrence est la même.

Par conséquent, il nous faut utiliser une démonstration par récurrence pour démontrer ce que nous voulons abec comme hypothèse :

$$\forall n \in \mathbb{N} \qquad H_n : (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k)}$$ce qui nous mène au raisonnement suivant :

Initialisation :
Pour \(n = 0\), \((fg)^{(0)} = fg = \binom{0}{0} f^{(0)} g^{(0)}\). Donc, \(H_0\) est vraie.

Hérédité :
Pour \(n+1\) :

$$(fg)^{(n+1)} = \left((fg)^{(n)}\right)'$$

D'après notre hypothèse de récurrence :

$$\begin{align} (fg)^{(n+1)} &= \left(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k)}\right)' = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left(f^{(n-k)} g^{(k)}\right)' \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left(f^{(n-k+1)} g^{(k)}+f^{(n-k)} g^{(k+1)}\right) \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k+1)} g^{(k)} + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k+1)} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(n-k+1)} g^{(k)} + \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1} f^{(n-(k-1))} g^{((k-1)+1)} \\ &= \binom{0}{0}f^{(n+1)}f^{(0)} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} f^{(n+1-k)} g^{(k)} + \binom{n}{n}f^{(0)}g^{(n+1)} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k-1} f^{(n+1-k)} g^{(k)} \\ &= \binom{0}{0}f^{(n+1)}g^{(0)} + \binom{n+1}{n+1}f^{(0)}g^{(n+1)} + \sum_{k=1}^{n} \left(\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\right)f^{(n+1-k)} g^{(k)} \end{align}$$

Comme le triangle de Pascal nous permet de voir facilement que \(\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\), nous obtenons :

$$\begin{align} (fg)^{(n+1)} &= \binom{0}{0}f^{(n+1)}g^{(0)} + \binom{n+1}{n+1}f^{(0)}g^{(n+1)} + \sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}f^{(n+1-k)} g^{(k)} \\ &= \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}f^{(n+1-k)}g^{(k)} \end{align}$$

Par conséquent, \(H_n \Rightarrow H_{n+1}\).

Conclusion :
\(H_n\) est vraie \(\forall n \in \mathbb{N}\).

Nous venons de démontrer la formule de la dériviée n-ième du produit de 2 fonctions !

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