Lucas Willems

LUCAS WILLEMS

Un étudiant de 21 ans passionné par les maths et la programmation

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Formule du binôme de Newton

Article

Si \((A, +, \times)\) est un anneau (par exemple, \(\mathbf{R}\), \(\mathbf{C}\), les polynômes...), pour \((a, b) \in A^2\) qui commutent ie tels que \(a \cdot b = b \cdot a\), la formule du binôme de Newton nous donne une formule explicite pour calculer \((a+b)^n\). Précisément :

$$\forall n \in \mathbb{N} \quad (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$$où \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Sommaire

Démonstration

Pour démontrer la formule du binôme du Newton, procédons par récurrence sur \(n\).

Hypothèse de récurrence :

$$\forall n \in \mathbb{N} \qquad H_n : (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$Initialisation :

Pour \(n = 0\), \((a+b)^0 = 1 = \binom{0}{0} a^0 b^0\) donc \(H_0\) est vraie.

Hérédité :

Supposons l'hypothèse de récurrence vraie au rang \(n\).

$$(a+b)^{n+1} = (a+b) \cdot (a+b)^n$$D'après l'hypothèse de récurrence :

$$\begin{align} (a+b)^{n+1} &= (a+b) \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k = a \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k + b \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k+1} b^k + \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k+1} \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n}{k-1} a^{n-(k-1)} b^{(k-1)+1} \\ &= \binom{0}{0}a^{n+1}b^0 + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} a^{n+1-k} b^k + \binom{n}{n}a^0b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k-1} a^{n+1-k} b^{k} \\ &= \binom{0}{0}a^{n+1}b^0 + \binom{n+1}{n+1}a^0b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} \left(\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\right)a^{n+1-k} b^k \end{align}$$

Comme \(\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}\) :

$$\begin{align} (a+b)^{n+1} &= \binom{0}{0}a^{n+1}b^0 + \binom{n+1}{n+1}a^0b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k} b^k \\ &= \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k\end{align}$$

Par conséquent, \(H_n \Rightarrow H_{n+1}\).

Conclusion :

\(\forall n \in \mathbb{N}, H_n\) est vraie : nous venons de démontrer la formule du binôme de Newton !

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