Lucas Willems

LUCAS WILLEMS

Un étudiant de 21 ans passionné par les maths et la programmation

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Petit théorème de Fermat

Article

En 1640, Pierre de Fermat énonce le théorème suivant :

Si \(p\) est un nombre premier et \(a\) est un entier quelconque, alors \(a^p - a\) est divisible par \(p\).

Mais Fermat n'a pas laissé de preuve de son théorème. Je vais donc vous montrer comment le démontrer.

Sommaire

Démonstration

Pour démontrer ce théorème, utilisons une démonstration par récurrence avec comme hypothèse :

$$\forall a \in \mathbb{N} \qquad H_a : a^p - a \equiv 0 [p]$$

où \(p\) est un nombre premier. Nous obtenons le raisonnement suivant :

Initialisation :
Pour \(a = 0\), \(0^p - 0 = 0 \equiv 0 [p]\). Donc, \(H_0\) est vrai.

Hérédité :
Pour \(a+1\) :

$$(a+1)^p - (a+1) = \sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} a^k - (a+1) = \left( \sum_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k} a^k \right) + a^p - a$$

Comme \(\binom{p}{k} = \frac{p!}{k! (p-k)!}\) avec \(k \in [[1, p-1]]\), \(k < p\) et \(p-k < p\). Donc, puisque \(p\) est premier, il n'est pas divisible par les facteurs de \(k!\) ou \((p-k)!\). Donc, \(\frac{p!}{k! (p-k)!}\), \(\binom{p}{k}\), mais aussi \(\sum_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k} a^k\) sont divisibles par \(p\).

De plus, d'après notre hypothèse, \(a^p - a\) est aussi divisible par \(p\). Par conséquent, \((a+1)^p - (a+1) \) est divisible par \(p\), ce qui veut dire que \(H_a \Rightarrow H_{a+1}\).

Conclusion :
\(H_a\) est vraie \(\forall a \in \mathbb{N}\).

Nous venons de démontrer le petit théorème de Fermat !

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