L'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des suites définies de la manière suivante :

$$c \in \mathbb{C} \qquad u_c(n+1) = u_c(n)^2 + c \qquad u_c(0) = 0$$

dont le module converge. Cet ensemble peut être représenter comme suit avec, en noir, les valeurs de \(c\) pour lesquelles le module converge, et en blanc, celles pour lesquelles le module diverge :

Cette représentation nous permet ainsi de voir que l'ensemble de Mandelbrot semble symétrique par rapport à l'axe des réels. Mais, comment le démontrer ? C'est ce que je vais vous montrer.

Démonstration

Pour commencer, il nous faut démontrer que \(u_{\overline c}(n) = \overline{u_c(n)}\). Pour se faire, nous allons utiliser une démonstration par récurrence en prenant donc l'hypothèse suivante :

$$\forall n \in \mathbb{N} \quad H_n : u_{\overline c}(n) = \overline{u_c(n)}$$

ce qui nous mène au raisonnement suivant :

Initialisation :
Pour \(n = 0\), \(u_{\overline c}(0) = 0 = \overline{u_c(0)}\). Donc, \(H_0\) est vrai.

Hérédité :
Pour \(n+1\) :

$$u_{\overline c}(n+1) = u_{\overline c}(n)^2 + \overline c$$Et d'après l'hypothèse de récurrence :

$$u_{\overline c}(n+1) = \overline{u_c(n)}^2 + \overline c = \overline{u_c(n)^2} + \overline c = \overline{u_c(n)^2 + c} = \overline{u_c(n+1)}$$

Par conséquent, \(H_n \Rightarrow H_{n+1}\).

Conclusion :
\(H_n\) est vrai \(\forall n \in \mathbb{N}\).

Maintenant, nous pouvons facilement démontrer ce qui nous intéresse. Il nous suffit de voir que \(|a| = |\overline a|\) et donc que \(|\overline{u_c(n)}| = |u_c(n)| = |u_{\overline c}(n)|\), ce qui nous permet d'obtenir :

$$\lim_{n \to +\infty} |u_c(n)| = \lim_{n \to +\infty} |u_{\overline c}(n)|$$

En d'autres termes, nous venons de démontrer que la convergence du module de la suite avec \(c\) est la même qu'avec \(\overline c\), où \(c\) et \(\overline c\) sont 2 complexes symétriques par rapport à l'axe des réels, ce qui prouve la symétrie.