Au XVIIIème siècle, Leonard Euler trouva cette formule pour écrire explicitement exponentielle :

$$\forall x \in \mathbb{C}, \quad e^x = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$$

Mais comment la trouver ? C'est ce que je vais vous montrer.

Démonstration

Cette démonstration est celle que j'ai trouvée tout seul (mais n'est vraisemblablement pas celle trouvée par Euler) et se sert seulement des propriétés de l'exponentielle et de la supposition que \(e^x\) peut être écrit sous forme de polynôme de degré infini, c'est à dire de ces 3 égalités :

$$\begin{gather*}
\exp' = \exp \\
e^0 = 1 \\
e^x = \sum_{k = 0}^{\infty} a_k x^k
\end{gather*}$$

A partir de ces égalités, utilisons une démonstration par récurrence avec l'hypothèse suivante :

$$\forall n \in \mathbb{N} \quad H_n : a_n = \frac{1}{n!}$$

ce qui nous donne le raisonnement suivant :

Initialisation :
Pour \(n = 0\), \(e^0 = a^0 = 1 = \frac{1}{0!}\). Donc, \(H_0\) est vrai.

Hérédité :
Comme \(\exp = \exp'\), nous pouvons écrire ce qui suit :$$\sum_{k = 0}^{\infty} a_k x^k = (\sum_{k = 0}^{\infty} a_k x^k)' = \sum_{k = 0}^{\infty} (k+1) a_{k+1} x^k$$ce qui veut dire que pour \(m \in \mathbb{N}\),

$$a_m = (m+1)a_{m+1} \Leftrightarrow a_{m+1} = \frac{a_m}{m+1}$$

Et, d'après l'hypothèse de récurrence,

$$a_{m+1} = \frac{a_m}{m+1} = \frac{\frac{1}{m!}}{m+1} = \frac{1}{(m+1)!}$$

Par conséquent, \(H_m \Rightarrow H_{m+1}\).

Conclusion :
\(H_n\) est vraie \(\forall n \in \mathbb{N}\). Donc :

$$e^x = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} x^k = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$$