Lucas Willems

LUCAS WILLEMS

Un étudiant de 21 ans passionné par les maths et la programmation

English

Project Euler : traduction des problèmes 1 à 50

Article

Les problèmes du project Euler étant écrits en anglais, il est possible que vous n'arriviez pas à les comprendre, ce qui est bien embêtant pour pouvoir les résoudre. N'ayant trouvé aucune traduction de ces problèmes sur internet, je me suis dis qu'il serait bien de les traduire pour nous faciliter la tâche et ne plus perdre de temps à essayer de comprendre les énoncés.

Sommaire

Problème 1 : Les multiples de 3 et de 5 (réponse ici)

Si nous listons tous les nombres naturels inférieurs à 10 qui sont des multiples de 3 ou 5, nous avons 3, 5, 6 et 9. La somme de ces multiples est 23.

Trouvez la somme de tous les multiples de 3 ou 5 inférieurs à 1000.

Problème 2 : Les nombres pairs de Fibonacci (réponse ici)

Chaque nouveau terme de la suite de Fibonacci est généré en ajoutant les 2 termes précédents. En démarrant avec 1 et 2, les 10 premiers termes sont :

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

En ne considérant que les termes de la suite de Fibonacci dont la valeur est paire et ne dépasse pas 4 millions, trouvez la somme de ces termes.

Problème 3 : Le plus grand facteur premier (réponse ici)

Les facteurs premiers de 13195 sont 5, 7, 13 et 29.

Quel est le plus grand facteur premier du nombre 600851475143 ?

Problème 4 : Le plus grand produit de palindrome (réponse ici)

Un nombre palindromique se lit de la même manière de gauche à droite et de droite à gauche. Le plus grand palindrome fait du produit de 2 nombres à 2 chiffres est \(9009 = 91 \cdot 99\).

Trouvez le plus grand palindrome fait du produit de 2 nombres à 3 chiffres.

Problème 5 : Le plus petit multiple (réponse ici)

2520 est le plus petit nombre divisible par tous les nombres de 1 à 10 avec un résultat entier.

Quel est le plus petit nombre positif divisible par tous les nombres de 1 à 20 avec un résultat entier ?

Problème 6 : La somme des différences des carrés (réponse ici)

La somme des carrés des 10 premiers nombres naturels est : \(1^2 + 2^2 + ... + 10^2 = 385\)

Le carré de la somme des 10 premiers nombres naturels est : \( (1 + 2 + ... + 10)^2 = 55^2 = 3025\)

Ainsi, la différence entre la somme des carrés des 10 premiers nombres naturels et le carré de leur somme est \(3025 - 385 = 2640\).

Trouvez la différence entre la somme des carrés des 100 premiers nombres naturels et le carré de leur somme.

Problème 7 : Le 10 001ème nombres premiers (réponse ici)

Si on liste les 6 premiers nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11 et 13), nous pouvons voir que le 6ème nombre premier est 13.

Quel est le 10 001ème nombre premier ?

Problème 8 : Le plus grand produit dans une série (réponse ici)

Trouvez le plus grand produit de 13 chiffres consécutifs dans le nombre de 1000 chiffres ci-dessous :

73167176531330624919225119674426574742355349194934
96983520312774506326239578318016984801869478851843
85861560789112949495459501737958331952853208805511
12540698747158523863050715693290963295227443043557
66896648950445244523161731856403098711121722383113
62229893423380308135336276614282806444486645238749
30358907296290491560440772390713810515859307960866
70172427121883998797908792274921901699720888093776
65727333001053367881220235421809751254540594752243
52584907711670556013604839586446706324415722155397
53697817977846174064955149290862569321978468622482
83972241375657056057490261407972968652414535100474
82166370484403199890008895243450658541227588666881
16427171479924442928230863465674813919123162824586
17866458359124566529476545682848912883142607690042
24219022671055626321111109370544217506941658960408
07198403850962455444362981230987879927244284909188
84580156166097919133875499200524063689912560717606
05886116467109405077541002256983155200055935729725
71636269561882670428252483600823257530420752963450

Problème 9 : Un triplet Pythagoricien spécial (réponse ici)

Un triplet Pythagoricien est une suite de 3 nombres naturels, \(a < b < c\), pour laquelle, \(a^2 + b^2 = c^2\).

Par exemple, \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\).

Il existe exactement un triplet Pythagoricien pour lequel \(a+b+c = 1000\).

Trouvez le produit \(a\cdot b\cdot c\).

Problème 10 : Addition de nombres premiers (réponse ici)

La somme des nombres premiers inférieurs à 10 est \(2 + 3 + 5 + 7 = 17\).

Trouvez la somme de tous les nombres premiers inférieurs à 2 000 000.

Problème 11 : Le plus grand produit dans une grille (réponse ici)

Dans la grille 20x20 ci-dessous, 4 nombres le long d'une diagonale sont marqués en rouge.

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

Le produit de ces nombres est \(26 \cdot 63 \cdot 78 \cdot 14 = 1788696\).

Quel est le plus grand produit de 4 nombres adjacents dans la même direction (haut en bas, gauche à droite ou en diagonale) dans la grille 20x20 ?

Problème 12 : Nombres triangulaires hautement divisibles (réponse ici)

La séquence de nombres triangulaires est générée par l'addition de nombres naturels. Donc, le 7ème nombre triangulaire sera \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28\). Les 10 premiers termes seraient :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Listons les facteurs des 7 premiers nombres triangulaires :

1: 1
3: 1,3
6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

Nous pouvons voir que 28 est le premier nombre triangulaire à avoir plus de 5 diviseurs. Quelle est la valeur du premier nombre triangulaire à avoir plus de 500 diviseurs ?

Problème 13 : Grande somme (réponse ici)

Trouvez les 10 premiers chiffres de la somme des 100 nombres à 50 chiffres.

37107287533902102798797998220837590246510135740250 46376937677490009712648124896970078050417018260538 74324986199524741059474233309513058123726617309629 91942213363574161572522430563301811072406154908250 23067588207539346171171980310421047513778063246676 89261670696623633820136378418383684178734361726757 28112879812849979408065481931592621691275889832738 44274228917432520321923589422876796487670272189318 47451445736001306439091167216856844588711603153276 70386486105843025439939619828917593665686757934951 62176457141856560629502157223196586755079324193331 64906352462741904929101432445813822663347944758178 92575867718337217661963751590579239728245598838407 58203565325359399008402633568948830189458628227828 80181199384826282014278194139940567587151170094390 35398664372827112653829987240784473053190104293586 86515506006295864861532075273371959191420517255829 71693888707715466499115593487603532921714970056938 54370070576826684624621495650076471787294438377604 53282654108756828443191190634694037855217779295145 36123272525000296071075082563815656710885258350721 45876576172410976447339110607218265236877223636045 17423706905851860660448207621209813287860733969412 81142660418086830619328460811191061556940512689692 51934325451728388641918047049293215058642563049483 62467221648435076201727918039944693004732956340691 15732444386908125794514089057706229429197107928209 55037687525678773091862540744969844508330393682126 18336384825330154686196124348767681297534375946515 80386287592878490201521685554828717201219257766954 78182833757993103614740356856449095527097864797581 16726320100436897842553539920931837441497806860984 48403098129077791799088218795327364475675590848030 87086987551392711854517078544161852424320693150332 59959406895756536782107074926966537676326235447210 69793950679652694742597709739166693763042633987085 41052684708299085211399427365734116182760315001271 65378607361501080857009149939512557028198746004375 35829035317434717326932123578154982629742552737307 94953759765105305946966067683156574377167401875275 88902802571733229619176668713819931811048770190271 25267680276078003013678680992525463401061632866526 36270218540497705585629946580636237993140746255962 24074486908231174977792365466257246923322810917141 91430288197103288597806669760892938638285025333403 34413065578016127815921815005561868836468420090470 23053081172816430487623791969842487255036638784583 11487696932154902810424020138335124462181441773470 63783299490636259666498587618221225225512486764533 67720186971698544312419572409913959008952310058822 95548255300263520781532296796249481641953868218774 76085327132285723110424803456124867697064507995236 37774242535411291684276865538926205024910326572967 23701913275725675285653248258265463092207058596522 29798860272258331913126375147341994889534765745501 18495701454879288984856827726077713721403798879715 38298203783031473527721580348144513491373226651381 34829543829199918180278916522431027392251122869539 40957953066405232632538044100059654939159879593635 29746152185502371307642255121183693803580388584903 41698116222072977186158236678424689157993532961922 62467957194401269043877107275048102390895523597457 23189706772547915061505504953922979530901129967519 86188088225875314529584099251203829009407770775672 11306739708304724483816533873502340845647058077308 82959174767140363198008187129011875491310547126581 97623331044818386269515456334926366572897563400500 42846280183517070527831839425882145521227251250327 55121603546981200581762165212827652751691296897789 32238195734329339946437501907836945765883352399886 75506164965184775180738168837861091527357929701337 62177842752192623401942399639168044983993173312731 32924185707147349566916674687634660915035914677504 99518671430235219628894890102423325116913619626622 73267460800591547471830798392868535206946944540724 76841822524674417161514036427982273348055556214818 97142617910342598647204516893989422179826088076852 87783646182799346313767754307809363333018982642090 10848802521674670883215120185883543223812876952786 71329612474782464538636993009049310363619763878039 62184073572399794223406235393808339651327408011116 66627891981488087797941876876144230030984490851411 60661826293682836764744779239180335110989069790714 85786944089552990653640447425576083659976645795096 66024396409905389607120198219976047599490197230297 64913982680032973156037120041377903785566085089252 16730939319872750275468906903707539413042652315011 94809377245048795150954100921645863754710598436791 78639167021187492431995700641917969777599028300699 15368713711936614952811305876380278410754449733078 40789923115535562561142322423255033685442488917353 44889911501440648020369068063960672322193204149535 41503128880339536053299340368006977710650566631954 81234880673210146739058568557934581403627822703280 82616570773948327592232845941706525094512325230608 22918802058777319719839450180888072429661980811197 77158542502016545090413245809786882778948721859617 72107838435069186155435662884062257473692284509516 20849603980134001723930671666823555245252804609722 53503534226472524250874054075591789781264330331690

Problème 14 : La plus longue séquence de Collatz (réponse ici)

La séquence itérative suivante est définie pour tout nombre entier positif avec :

$$\begin{cases} n = n/2 \quad (n \text{ pair}) \\ n = 3n + 1 \quad (n \text{ impair})\end{cases}$$

En utilisant ces règles et en commençant à 13, la séquence suivante est générée :

$$13 \rightarrow 40 \rightarrow 20 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$$

Cette séquence (commençant à 13 et finissant à 1) contient 10 termes. Bien que cela n'ait pas été encore prouvé (problème de Collatz), il est possible de conjecturer que, pour n'importe quel nombre de départ, la chaîne se terminera à 1.

Quel nombre de départ, inférieur à 1 million, produit la plus longue chaîne ?

NOTE: Une fois la chaîne démarrée, les termes peuvent dépasser 1 million.

Problème 15 : Les chemins de treillis (réponse ici)

En démarrant au coin en haut à gauche de la grille 2x2, et seulement pouvant se déplacer à droite et en bas, il y a exactement 6 routes pour aller au coin d'en bas à droite.

Problème 15 : Les chemins de treillis

Combien de chemins y a-t-il dans une grille 20x20 ?

Problème 16 : Somme des chiffres d'une puissance (réponse ici)

\(2^{15} = 32768\) et la somme de ses chiffres est \(3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26\).

Quelle est la somme des chiffres du nombre \(2^{1000}\) ?

Problème 17 : Compte des lettres d'un nombre (réponse ici)

Si les nombres de 1 et 5 sont écrits en lettres, mais en anglais : one, two, three, four, five, alors il y a \(3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19\) lettres utilisées au total.

Si tous les nombres de 1 à 1000 (one thousand) inclus sont écrits en lettres, combien de lettres seraient utilisées ?

NOTE: Ne comptez pas les espaces et les traits d'union. Par exemple, 342 (three hundred and forty-two) contient 23 lettres et 115 (one hundred and fifteen) contient 20 lettres. L'utilisation de "and" quand nous écrivons les nombres en lettres est en conformité avec le langage britannique.

Problème 18 : Somme maximum du chemin I (réponse ici)

En commençant par le haut du triangle ci-contre et en se déplaçant vers les nombres adjacents de la ligne inférieure, la somme maximale de haut en bas est 23, c'est à dire : \(3 + 7 + 4 + 9 = 23\).

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

Trouvez la somme maximale de haut en bas pour le triangle ci-dessous.

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

NOTE: Comme il n'y a que 16384 parcours, il est possible de résoudre ce problème en essayant chaque route. Cependant, le problème 67 est le même défi, mais avec un triangle contenant 100 lignes : il ne sera plus résoluble par brute force et demandera une méthode intelligente.

Problème 19 : Compte des dimanches (réponse ici)

Voici quelques informations, que vous pouvez compléter par vos propres recherches :

Combien de dimanches sont tombés un premier du mois durant le XXème siècle (du 1er Jan 1901 au 31 Dec 2000) ?

Problème 20 : Somme des chiffres d'une factorielle (réponse ici)

\(n!\) signifie \(n \times (n - 1) \times ... \times 3 \times 2 \times 1\). Par exemple, \(10! = 10 \times 9 \times ... \times 3 \times 2 \times 1 = 3628800\), et la somme des chiffres du nombre \(10!\) est \(3 + 6 + 2 + 8 + 8 + 0 + 0 = 27\). Trouvez la somme des chiffres du nombre \(100!\).

Problème 21 : Les nombres amicaux (réponse ici)

\(d(n)\) est défini comme étant la somme des diviseurs propres de \(n\) (diviseurs de \(n\) inférieurs à \(n\)).

Si \(d(a) = b\) et \(d(b) = a\), avec \(a \neq b\), alors \(a\) et \(b\) forment une paire amicale où \(a\) et \(b\) sont appelés des nombres amicaux.

Par exemple, les diviseurs propres de 220 sont 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 et 110; donc \(d(220) = 284\). Les diviseurs propres de 284 sont 1, 2, 4, 71 et 142; donc \(d(284) = 220\).

Trouvez la somme de tous les nombres amicaux inférieurs à 10000.

Problème 22 : Le score des noms (réponse ici)

Récupérez names.txt (clique droit et 'Enregistrer sous...'), un fichier de 46Ko qui contient 5000 prénoms, et commencez par le triez dans l'ordre alphabétique. Ensuite, attribuez une valeur alphabétique à chaque prénom et multipliez cette valeur par la position du nom dans la liste triée alphabétiquement pour obtenir le score du nom.

Par exemple, quand la liste des noms est triée alphabétiquement, COLIN, qui vaut  \(3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53\), est le 938th nom de la liste. Donc, COLIN obtient le score de \(938 \times 53 = 49714\).

Quel est le total des scores des noms de ce fichier ?

Problème 23 : Les sommes non abondantes (réponse ici)

Un nombre est dit "parfait" si la somme des diviseurs propres de ce nombre est égale au nombre lui-même. Par exemple, la somme des diviseurs propres de 28 est \(1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28\), ce qui signifie que 28 est un nombre parfait.

Un nombre \(n\) est appelé déficient si la somme de ses diviseurs propres est inférieure à \(n\) et est appelé abondant si la somme dépasse \(n\).

Comme 12 est le plus petit nombre abondant, \(1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16\), le plus petit nombre qui peut être écrit en tant que somme de 2 nombres abondant est 24. Par analyse mathématique, il a été montré que tous les nombres entiers plus grand que 28123 peuvent être écrits comme étant la somme de 2 nombres abondants. Cependant, cette limite ne peut pas être réduite davantage par analyse, bien que l'on connaisse le plus grand nombre non exprimable en tant que somme de 2 nombres abondants en dessous de cette limite.

Trouvez la somme de tous les nombres entiers positifs qui ne peuvent pas être écrits comme étant la somme de 2 nombres abondants.

Problème 24 : Permutations lexicographiques (réponse ici)

Une permutation est un arrangement ordonné d'objets. Par exemple, 3124 est une des permutations possibles des chiffres 1, 2, 3 et 4. Si toutes les permutations sont listées numériquement ou alphabétiquement, cela s'appelle l'ordre lexicographique. Les permutations lexicographiques de 0, 1 et 2 sont :

012   021   102   120   201   210

Quelle est la millionième permutation lexicographique des chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ?

Problème 25 : Le nombre de 1000 chiffres de Fibonacci (réponse ici)

La suite de Fibonacci est définie par la relation de récurrence suivante :

\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\), où \(F_1 = 1\) et \(F_2 = 1\).

Donc, les premiers termes sont :

$$F_1 = 1 \quad F_2 = 1 \quad F_3 = 2 \quad F_4 = 3 \quad F_5 = 5 \quad F_6 = 8 \\ F_7 = 13 \quad F_8 = 21 \quad F_9 = 34 \quad F_{10} = 55 \quad F_{11} = 89 \quad F_{12} = 144$$

Le 12ème terme, \(F_{12}\), est le premier terme à avoir plus de 3 chiffres.

Quel est le premier terme dans la suite de Fibonacci à avoir 1000 chiffres ?

Problème 26 : Longueur de période (réponse ici)

Une fraction unitaire a un numérateur égal à 1. La représentation décimale d'une fraction unitaire avec des dénominateurs compris entre 2 et 10 est la suivante :

$$\frac{1}{2} = 0.5 \quad \frac{1}{3} = 0.(3) \quad \frac{1}{4} = 0.25 \quad \frac{1}{5} = 0.2 \quad \frac{1}{6} = 0.1(6) \\ \frac{1}{7} = 0.(142857) \quad \frac{1}{8} = 0.125 \quad \frac{1}{9} = 0.(1) \quad \frac{1}{10} = 0.1$$

Où 0.1(6) signifie 0.166666... et a une période de 1 chiffre. Nous pouvons voir que \(\frac{1}{7}\) a une période de 6 chiffres.

Trouvez la valeur de \(d < 1000\) pour laquelle \(\frac{1}{d}\) contient la période la plus longue.

Problème 27 : Des nombres premiers quadratiques (réponse ici)

Euler publia la remarquable formule quadratique :

$$n^2 + n + 41$$

Cette formule permet de produire 40 nombres premiers pour les valeurs consécutives \(n = 0\) à \(39\). Cependant, quand \(n = 40\), \(40² + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41\) est divisible par 41, et certainement quand \(n = 41\), \(41² + 41 + 41\) est clairement divisible par 41.

En utilisant des ordinateurs, l'incroyable formule \(n² - 79n + 1601\) a été découverte, laquelle produit 80 nombres premiers pour les valeurs consécutives \(n = 0\) à \(79\). Le produit de ces coefficients, \(-79\) et \(1601\), est \(-126479\).

En considérant les nombres quadratiques de la forme :

$$n^2 + an + b$$

Où \(\left|a\right| < 1000\) et \(\left|b\right| < 1000\) et où \(\left|n\right|\) est la valeur absolue de \(n\).

Trouvez le produit des coefficients, \(a\) et \(b\), de l'expression quadratique qui produit un nombre maximum de nombres premiers pour des valeurs consécutives de \(n\), en démarrant à \(n = 0\).

Problème 28 : Nombre des diagonales de la spirale (réponse ici)

En commençant à 1 et en se déplaçant vers la droite dans le sens des aiguilles d'une montre, une spirale 5 par 5 est formée comme suit :

21 22 23 24 25
20  7    8   9  10
19  6    1   2  11
18  5    4   3  12
17 16 15 14 13

Il peut être vérifié que la somme des nombres sur les diagonales est 101.

Quelle est la somme des nombres sur les diagonales dans une spirale de 1001 par 1001 formée de la même manière ?

Problème 29 : Les différentes puissances (réponse ici)

Considérons toutes les combinaisons d'entiers de \(a^b\) pour \(2 \leq a \leq 5\) et \(2 \leq b \leq 5\) :

$$\begin{align}
& 2^2=4 \quad 2^3=8 \quad 2^4=16 \quad 2^5=32 \\
& 3^2=9 \quad 3^3=27 \quad 3^4=81 \quad 3^5=243 \\
& 4^2=16 \quad 4^3=64 \quad 4^4=256 \quad 4^5=1024 \\
& 5^2=25 \quad 5^3=125 \quad 5^4=625 \quad 5^5=3125
\end{align}$$Si elles sont placées par ordre numérique, après avoir supprimé tous les doublons, nous avons la séquence suivante de 15 termes distincts.

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

Combien la séquence générée par \(a^b\) pour \(2 ≤ a ≤ 100\) et \(2 ≤ b ≤ 100\) a de termes distincts ?

Problème 30 : La puissance cinquième des chiffres (réponse ici)

Étonnamment, il y a seulement 3 nombres qui peuvent être écrits comme étant la somme des puissances quatrièmes de leurs chiffres :

$$
1634 = 1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4 \\
8208 = 8^4 + 2^4 + 0^4 + 8^4 \\
9474 = 9^4 + 4^4 + 7^4 + 4^4
$$

Comme \(1 = 1^4\) n'est pas une somme, il n'est pas inclus.

La somme de ces nombres est \(1634 + 8208 + 9474 = 19316\).

Trouvez la somme de tous les nombres qui peuvent être écrits comme étant la somme des puissances cinquièmes de leurs chiffres.

Problème 31 : La somme des pièces (réponse ici)

En Angleterre, la monnaie est composée de livre, £, et de pennies, p, et il y a 8 pièces de monnaie en circulation :

1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p) and £2 (200p).

Il est possible de faire £2 de la manière suivante :

$$1 \times £1 + 1 \times 50p + 2\times 20p + 1\times 5p + 1\times 2p + 3\times 1p$$

De combien de façons différentes il est possible de faire £2 en utilisant n'importe quelles pièces de monnaie ?

Problème 32 : Pandigital products

Nous dirons que un nombre à \(n\) chiffre est pantagital si il est fait une seule fois de chaque chiffre de 1 à \(n\). Par exemple, le nombre de 5 chiffres 15234 est un nombre pandigital car il contient les chiffres 1 à 5 une seule fois.

Le produit 7254 (\(39 \times 186 = 7254\)) est inhabituel car si l'on met bout à bout le multiplicande, le multiplicateur et le produit, on obtient un pandigital de 9 chiffres.

Trouvez la somme de tous les produits pour lesquels multiplicande, multiplicateur et produit concaténés forment un pandigital de 9 chiffres.

NOTE: Certains produits peuvent être obtenus de plus d'une manière. Donc, soyez sûr de ne les inclure qu'une seule fois dans la somme.

Problème 33 : Digit canceling fractions

La fraction \(\frac{49}{98}\) est une fraction curieuse, simplifié par un mathématicien sans expérience de la manière suivante : \(\frac{49}{98} = \frac{4}{8}\), ce qui est juste. Mais cette fraction peut aussi être simplifié en supprimant le 9 au numérateur et dénominateur.

Nous considérerons les fractions comme \(\frac{30}{50} = \frac{30}{50}\), comme étant des exemples insignifiants.

Il y a exactement 4 exemples signifiants pour ce type de fraction, dont la valeur est inférieure à 1 et qui contiennent 2 chiffres au numérateur et au dénominateur.

Si le produit de ces 4 fractions est donné dans sa version simplifiée au maximum, trouvez la valeur du dénominateur.

Problème 34 : Les factoriels des chiffres

145 est un nombre curieux car \(1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145\).

Trouvez la somme de tous les nombres qui sont égaux à la factoriel de leurs chiffres.

NOTE: Comme \(1! = 1\) and \(2! = 2\) ne sont pas des sommes, elles ne sont pas incluses.

Problème 35 : Les nombres premiers circulaires

Le nombre 197 est appelé un nombre premier circulaire car toutes les rotations de ses chiffres : 197, 971 et 719, sont elles-mêmes des nombres premiers.

Il y a 13 nombres premiers circulaires inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, et 97.

Combien y a-t-il de nombres premiers circulaires inférieurs à 1 million ?

Problème 36 : Palindromes dans des bases doubles

Le nombre décimal, 585 = 1001001001 (binaire), est palindromique dans les deux bases (binaire et décimale).

Trouvez la somme de tous les nombres inférieurs à 1 million, qui sont palindromiques en base 10 et en base 2.

NOTE: Le nombre palindromique, dans l'une ou l'autre des bases, n'inclut pas les zéros de début ou de fin.

Problème 37 : Des nombres premiers troncables

Le nombre 3797 a une propriété intéressante. Etant lui-même un nombre premier, il est possible de lui en enlever des chiffres de gauche à droite, tout en le faisant rester un nombre premier à chaque fois : 3797, 797, 97 et 7. Cela fonctionne aussi si on le fait de droite à gauche : 3797, 379, 37 et 3.

Trouvez la somme des seuls 11 nombres premiers qui sont troncables à la fois de gauche à droite et de droite à gauche.

NOTE: 2, 3, 5, et 7 ne sont pas considérés comme étant des nombres premiers troncables.

Problème 38 : Les multiples de pandigital

Prenez le nombre 192 et multipliez le par 1, 2 et 3, tour après tour :

$$192 \times 1 = 192
192 \times 2 = 384
192 \times 3 = 576$$En mettant bout à bout chaque produit, nous obtenons le pandigital de 9 chiffres, 192384576. Nous appellerons 192384576 le produit concaténé de 192 et (1,2,3).

Un autre pandigital de 9 chiffres peut être réalisé en démarrant avec 9 et en multipliant par 1, 2, 3, 4 et 5, donnant le pandigital, 918273645, qui est le produit concaténé de 9 et (1,2,3,4,5).

Quel est le plus grand pandigital de 9 chiffres qui peut être formé par le produit concaténé d'un entier avec \((1, 2, ..., n)\) où \(n > 1\) ?

Problème 39 : Integer right triangles

Si \(p\) est le périmètre d'un triangle rectangle aux longueurs de côtés entières, {a, b, c}, il y a exactement 3 solutions pour \(p = 120\).

{20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50}

Pour \(p \leq 1000\), quel est le nombre maximum de solutions ?

Problème 40 : La constante de Champernowne

Une fraction décimale irrationnelle est créée par la concaténation de nombres entiers positifs :

0.123456789101112131415161718192021...

Nous pouvons voir que le 12ème chiffre de la partie fractionnaire est 1.

Si \(d_n\) représente le n-ième chiffre de la partie fractionnaire, trouvez la valeur de l'expression suivante :

$$d_1 \times d_{10} \times d_{100} \times d_{1000} \times d_{10000} \times d_{100000} \times d_{1000000}$$

Problème 41 : Pandigital premier

Nous dirons que un nombre à \(n\) chiffre est pantagital si il est fait une seule fois de chaque chiffre de 1 à \(n\). Par exemple, 2143 est un pandigital de 4 chiffres et est aussi premier.

Quel est le plus grand pandigital premier de \(n\) chiffres qui existe ?

Problème 42 : Nombres triangulaires codés

Le n-ième terme de la séquence des nombres triangulaires est donnée par \(t_n = \frac{1}{2} n(n+1)\); donc les 10 premiers nombres triangulaires sont :

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 ...

En convertissant chaque lettre d'un mot en un nombre correspondant à sa position dans l'alphabet et en ajoutant ces valeurs, nous formons la valeur d'un mot. Par exemple, la valeur du mot SKY est \(19 + 11 + 25 = 55 = t_{10}\). Si la valeur du mot est un nombre triangulaire, alors nous appellerons ce mot un mot triangulaire.

En utilisant words.txt (clique droit et 'Enregistrer sous...'), un fichier texte de 16Ko contenant 2000 mots courants anglais, combien de mots triangulaires y a-t-il ?

Problème 43 : Divisibilité de sous-chaîne

Le nombre, 1406357289, est un pandigital de 10 chiffres parce qu'il est formé de tous les chiffres de 0 à 9 une seule fois. Ce pandigital a aussi une propriété de divisibilité de sous-chaîne intéressante.

Soit \(d_1\) le 1er chiffre, \(d_2\) le 2nd chiffre etc... De cette façon, nous notons ce qui suit :

Trouvez la somme de tous les pandigitals de 10 chiffres (0 à 9) qui possèdent cette propriété.

Problème 44 : Les nombres pentagonaux

Les nombres pentagonaux sont générés par la formule : \(P_n = \frac{n \cdot (3n-1)}{2}\).  Les premiers nombres pentagonaux sont :

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...

Nous pouvons voir que \(P_4 + P_7 = 22 + 70 = 92 = P_8\). Cependant, leur différence, \(70 - 22 = 48\), n'est pas un nombre pentagonal.

Trouvez la paire de nombres pentagonaux, \(P_j\) et \(P_k\), pour lesquels leur somme et différence sont un nombre pentagonal et \(D = \left|P_k - P_j\right|\) est minimal ; quel est la valeur de D ?

Problème 45 : Triangulaire, pentagonal et hexagonal

Les nombres triangulaires, pentagonaux et hexagonaux sont générés par les formules suivantes :

Triangle\(T_n = n(n+1)/2\)1, 3, 6, 10, 15, ...
Pentagonal\(P_n = n(3n-1)/2\)1, 5, 12, 22, 35, ...
Hexagonal\(H_n = n(2n-1)\)1, 6, 15, 28, 45, ...

Il peut être vérifié que \(T_{285} = P_{165} = H_{143} = 40755\).

Trouvez le nombre triangulaire suivant qui est aussi un nombre pentagonal et hexagonal.

Problème 46 : L'autre conjecture de Goldbach

Il a été proposé par Christian Goldbach que chaque nombre impair non premier peut être écrit comme étant la somme d'un nombre premier avec deux fois un carré.

$$9 = 7 + 2 \times 1^2 \\
15 = 7 + 2 \times 2^2 \\
21 = 3 + 2 \times 3^2 \\
25 = 7 + 2 \times 3^2 \\
27 = 19 + 2 \times 2^2 \\
33 = 31 + 2 \times 1^2$$Il s'avère que la conjecture était fausse.

Quel est le plus petit nombre impair non premier qui ne peut pas être écrit comme étant la somme d'un nombre premier avec deux fois un carré ?

Problème 47 : Facteurs premiers différents

Les 2 premiers nombres consécutifs à avoir 2 facteurs premiers différents sont :

$$14 = 2 \times 7 \\
15 = 3 \times 5$$

Les 3 premiers nombres consécutifs à avoir 3 facteurs premiers différents sont :

$$644 = 2^2 \times 7 \times 23 \\
645 = 3 \times 5 \times 43 \\
646 = 2 \times 17 \times 19$$

Trouvez les 4 premiers nombres entiers à avoir 4 facteurs premiers différents. Quel est le premier de ces nombres ?

Problème 48 : Propres puissances

La série \(1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + 10^{10} = 10405071317\).

Trouvez les 10 derniers chiffres de cette série : \(1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + 1000^{1000}\).

Problème 49 : Permutations de nombre premier

La suite arithmétique, 1487, 4817, 8147 dans laquelle l'écart entre 2 termes est de 3330, est inhabituelle pour 2 raisons : (1) chacun des termes sont premiers; (2) chacun des termes de 4 chiffres est une permutation des autres.

Il n'y a pas de suites arithmétiques composées de 3 nombres premiers de 1, 2 ou 3 chiffres, qui possèdent cette propriété, mais il y a une autre suite de 3 nombres premiers de 4 chiffres.

Quel nombre de 12 chiffres formez-vous en concaténant les 3 termes de cette suite ?

Problème 50 : Somme de nombres premiers consécutifs

Le nombre premier 41 peut être écrit comme étant la somme de 6 nombres premiers consécutifs :

$$41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13$$

C'est la plus longue somme de nombres premiers consécutifs qui donne un nombre premier inférieur à 100.

La plus longue somme de nombres premiers consécutifs qui donne un nombre premier inférieur à 1000 contient 21 termes et est égale à 953.

Quel nombre premier, inférieur à 1 million, peut être écrit comme étant la somme du plus grand nombre de nombres premiers consécutifs ?

Recherche

Voici les recherches relatives à cette page :

Commentaires

Qu'en pensez-vous ? Donnez moi votre avis (positif ou négatif) pour que je puisse l'améliorer.