L'assertion que nous allons démontrer est la suivante :

Soit \((u_n)\) et \((v_n)\) 2 suites convergeant respectivement vers \(l_1\) et \(l_2\).
Si \(u_n \leq v_n\) à partir d'un certain rang, alors \(l_1 \leq l_2\). 

Démonstration

Soit \((u_n)\) et \((v_n)\) 2 suites convergeant respectivement vers \(l_1\) et \(l_2\). Démontrons la contraposée, c'est-à-dire, que si \(l_1 > l_2\), alors \(\forall \, N \in \mathbb{N}, \exists\, n \geq N\,|\, u_n > v_n\) (négation de \(u_n \leq v_n\) à partir d'un certain rang).

Nous supposons donc \(l_1 > l_2\). Par conséquent, d'après la définition de la convergence :

$$\begin{cases}
\forall\varepsilon>0,\exists N_1\in\mathbb{N} | n \geq N_1 \Rightarrow |u_n-l_1| \leq \varepsilon \\
\forall\varepsilon>0,\exists N_2\in\mathbb{N} | n \geq N_2 \Rightarrow |v_n-l_2| \leq \varepsilon\end{cases}
$$Cette assertion étant vraie \(\forall \varepsilon\), elle est vraie pour \(\varepsilon' = \frac{l_1 - l_2}{3}\). Donc :

$$\begin{cases}
\exists N_1\in\mathbb{N} | n \geq N_1 \Rightarrow |u_n-l_1| \leq \varepsilon' \\
\exists N_2\in\mathbb{N} | n \geq N_2 \Rightarrow |v_n-l_2| \leq \varepsilon' 
\end{cases}
$$A partir du rang \(\max(N_1, N_2)\) :

$$\begin{cases}
|u_n-l_1| \leq \varepsilon' \\
|v_n-l_2| \leq \varepsilon' 
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
l_1 - \varepsilon' \leq u_n \leq l_1+\varepsilon' \\
l_2 - \varepsilon' \leq v_n \leq l_2+\varepsilon'
\end{cases}
$$En remplaçant \(\varepsilon'\) par sa valeur :

$$\begin{cases}
\frac{2 l_1 + l_2}{3} \leq u_n \leq \frac{4 l_1 - l_2}{3} \\
\frac{4 l_2 - l_1}{3} \leq v_n \leq \frac{2 l_2 + l_1}{3}
\end{cases}
$$Or :

$$\frac{2 l_1 + l_2}{3} - \frac{2 l_2 + l_1}{3} =\frac{l_1-l_2}{3} > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{2 l_1 + l_2}{3} > \frac{2 l_2 + l_1}{3}$$

Donc, toujours à partir du rang \(\max(N_1, N_2)\) :

$$\frac{4 l_2 - l_1}{3} \leq v_n < u_n \leq \frac{4 l_1 - l_2}{3}$$

Par conséquent, nous avons que :

$$\exists N \in \mathbb{N}\,|\, \forall n \geq N, u_n > v_n$$

Ce qui implique bien que :

$$\forall \, N \in \mathbb{N}, \exists\, n \geq N\,|\, u_n > v_n$$