Nous allons démontrer le critère de divisibilité par 3 suivant :

Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Démonstration

Avant d'entrer dans la démonstration, je vais vous montrer l'idée à travers un exemple. Prenons le nombre 2456 que nous pouvons réécrire comme suit :

$$\begin{align} 1456 &= 2 \times 1000 + 4 \times 100 + 5 \times 10 + 6 = 2 \times (999 + 1) + 4 \times (99 + 1) + 5 \times (9 + 1) + 6 \\ &= (2 \times 999 + 4 \times 99 + 5 \times 9) + (2 + 4 + 5 + 6) \end{align}$$

Ainsi, comme nous savons que \(2 \times 999 + 4 \times 99 + 5 \times 9\) est divisible par 3, la divibilité de 2456 dépend seulement de celle de \(2+4+5+6\).

Rédigeons maintenant ce raisonnement plus rigoureusement.

Premièrement, il nous faut prouver que les nombres composés seulement de 9 (99, 999, 9999...) sont divisible par 3. Pour se faire, il nous suffit d'écrire ces nombres de la manière suivante :

$$\sum_{k = 0}^{n} 9 \times 10^k$$

ce qui donne :

$$\sum_{k = 0}^{n} 9 \times 10^k = \sum_{k = 0}^{n} 3 \times 3 \times 10^k = 3 (\sum_{k = 0}^{n} 3 \times 10^k)$$

et qui nous permet de facilement voir que ces nombres sont divisibles par 3.

Maintenant, passons à la partie de la démonstration qui nous intéresse. Prenons \(a\) un nombre entier à \(n\) chiffres que nous pouvons écrire comme suit :

$$a = \sum_{k=0}^{n} a_k \times 10^k \qquad (a_1, ..., a_n) \in [[0, 9]]^n$$

ce qui nous donne :

$$a = \sum_{k=0}^{n} a_k \times 10^k = \sum_{k=0}^{n} a_k \times (10^k - 1 + 1) = \sum_{k=0}^{n} a_k \times (10^k - 1) + \sum_{k=0}^{n} a_k$$

Or, tous les nombres du type \(10^k - 1\) ne contiennent que des 9, donc, sont divisibles par 3. Conclusion :

$$\sum_{k=0}^{n} a_k \times 10^k \equiv \sum_{k=0}^{n} a_k [3]$$